六甲学院中２０１８年（平面図形ー★★★☆☆☆）
【六甲学院中学 ２０１８年度 Ａ日程】
～解説～
与えられた三角形APDの面積をどう使うのかがポイントですね。
とりあえず、台形ABCDの面積を求めてみましょう。
（１０ｃｍ＋１５ｃｍ）×１８ｃｍ÷２＝２２５㎠
よって、△ABPの面積と△CDPの面積の合計は、
２２５㎠ー１０３㎠＝１２２㎠
と分かります。
AB上にBQ=１０ｃｍとなるような点Qを取り、線PQを引いてみましょう。
すると、△BPQと△CPDの面積はそれぞれ、
△BPQ＝▢ｃｍ×１０ｃｍ÷２
△CPD＝△ｃｍ×１０ｃｍ÷２
と表すことができますね。よって、この２つの合計は、
△BPQ＋△CPD＝▢×１０÷２＋△×１０÷２＝（▢＋△）×１０÷２
となります。
ここで、（▢＋△）はBCの長さのことなので１８ｃｍです。よって、
△BPQ＋△CPD＝１８ｃｍ×１０ｃｍ÷２＝９０㎠
と求めることができます。
※ここでは式の結合法則を利用して式を変形しましたが、分かりにくい人は図形的に考えても良いでしょう。
BQ＝CDで∠CBQ＝∠BCDなのでBCとQDは平行です。
よって、△BPQと△BPDは面積が等しくなるので等積変形をすることができますね。
これを利用すると、
△BPQ＋△CPD＝△BPD＋△CPD＝△BCD＝１８ｃｍ×１０ｃｍ÷２＝９０㎠
と求めることもできます。
さて、本問に戻りましょう。
△ABP＋△CDP＝１２２㎠
△BPQ＋△CPD＝９０㎠
なので、
△AQP＝１２２㎠ー９０㎠＝３２㎠
よって、
５ｃｍ×▢ｃｍ÷２＝３２㎠
▢＝１２．８ｃｍ
※別解
△ABP＋△CDP＝１２２㎠
を、図形的に処理したのが上の解法ですが、別解も紹介しておきましょう。
△ABP＝▢ｃｍ×１５ｃｍ÷２
△CDP＝△ｃｍ×１０ｃｍ÷２
なので、
▢ｃｍ×１５ｃｍ÷２＋△ｃｍ×１０ｃｍ÷２＝１２２㎠
ということですね。
結合法則を使うと、
（▢×１５＋△×１０）÷２＝１２２
となるので、
▢×１５＋△×１０＝２４４
と表すことができます。
また、▢＋△はBCの長さのことなので１８ｃｍです。
まとめると、
・▢＋△＝１８
・▢×１５＋△×１０＝２４４
となりますが、この式の型に見覚えがあるでしょうか。
これは、まさにつるかめ算の型（１５本足のつるが▢匹、１０本足のかめが△引き、合わせて１８匹で足の合計が２４４本）をしています。
よって、この後はいつも通りのつるかめ算の解き方で求めることもできます。
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★☆☆☆】
 |
|
 |
|
