甲陽中２０２３年（面積ー★★★★★☆）

【甲陽学院中学　２０２３年度　第一日】

～解説～

図形の問題なのに図が描かれていません。

まずは問題文から、おおよその図を描くところから始めないといけませんね。

　　　　　

図自体は最難関校としてはシンプルな方ですが、条件が特殊で、相似や面積比の基本解法で攻めてみてもどうにもなりません。

ひらめきの必要な難問です。

「面積が等しい」という条件から、「等積変形」を思い出せるかがポイントです。

まずは、等積変形の基本を確認しておきましょう。

　　　　　　　

上図の様に、直線ℓと直線ｍが平行であるとき、△ＡＢＣと△ＡＢＤは面積が等しくなります。

底辺ＡＢの長さが同じなのはもちろんのこと、ℓとｍが平行なら高さも同じになるからですね。

これを発展させると、△ＡＣＥと△ＢＤＥの面積も等しいということが分かります。

本問はこれの応用で、△ＰＨＥ＝△ＰＧＦから、直線ＨＧと直線ＥＦが平行であることになります。

　　　　　

ＨＧとＥＦが平行なので、△ＤＨＧと△ＢＦＥは相似になります。

ＤＨ＝１２cm、ＢＦ＝１８cmから、その相似比は１２：１８＝２：３。

よって、ＤＧ＝②cm、ＢＥ＝③cmと表せますね。

四角形ＡＢＣＤは長方形なのでＡＢ＝ＤＣです。

つまり、３cm＋③cm＝②cm＋７cmなので、①＝４cmと求められます。

よって、ＤＧ＝②＝８ｃｍ

　　　　　

△ＤＨＧと△ＢＥＦは２：３の相似なので、ＨＧ：ＦＥ＝２：３。

また、ＨＧとＦＥが平行なので、△ＨＧＰと△ＦＥＰも相似になります。

この相似比も２：３なので、ＨＰ：ＦＰ＝２：３。

△ＨＰＥと△ＦＰＥは等高三角形なので、面積比＝底辺比。

よって、△ＨＰＥ：△ＦＰＥ＝２：３＝９０：▢。

△ＦＰＥ＝９０㎤÷２×３＝１３５㎤。

また、△ＥＢＦ＝１２cm×１８cm÷２＝１０８㎤。

以上から、四角形ＥＢＦＨ＝１０８㎤＋１３５㎤＋９０㎤＝３３３㎤。

ここで、△ＢＦＨ＝１８cm×（３cm＋１２cm）÷２＝１３５㎤なので、

△ＥＢＨ＝３３３㎤ー１３５㎤＝１９８㎤。

△ＥＢＨ＝ＥＢ×ＡＨ÷２でもあるので、

ＡＨ＝１９８㎤×２÷１２cm＝３３cm。

よって、四角形ＡＢＣＤ＝（３cm＋１２cm）×（３３cm＋１２cm）＝６７５㎤

重要度【★★☆☆☆☆】

難易度【★★★★★☆】

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