中学受験算数の良問・難問・基本問題

プロ家庭教師が中学入試の算数の問題とその解法を紹介していきます。

甲陽中2023年(面積ー★★★★★☆)

甲陽学院中学 2023年度 第一日】

~解説~

図形の問題なのに図が描かれていません。

まずは問題文から、おおよその図を描くところから始めないといけませんね。

     

図自体は最難関校としてはシンプルな方ですが、条件が特殊で、相似や面積比の基本解法で攻めてみてもどうにもなりません。

ひらめきの必要な難問です。

「面積が等しい」という条件から、「等積変形」を思い出せるかがポイントです。

まずは、等積変形の基本を確認しておきましょう。

       f:id:juken_sansu:20190708202954p:plain

上図の様に、直線と直線mが平行であるとき、△ABCと△ABDは面積が等しくなります。

底辺ABの長さが同じなのはもちろんのこと、とmが平行なら高さも同じになるからですね。

これを発展させると、△ACEと△BDEの面積も等しいということが分かります。

 

本問はこれの応用で、△PHE=△PGFから、直線HGと直線EFが平行であることになります。

 

     

HGとEFが平行なので、△DHGと△BFEは相似になります。

DH=12cm、BF=18cmから、その相似比は12:18=2:3。

よって、DG=②cm、BE=③cmと表せますね。

四角形ABCDは長方形なのでAB=DCです。

つまり、3cm+③cm=②cm+7cmなので、①=4cmと求められます。

よって、DG=②=8cm

 

     

△DHGと△BEFは2:3の相似なので、HG:FE=2:3。

また、HGとFEが平行なので、△HGPと△FEPも相似になります。

この相似比も2:3なので、HP:FP=2:3。

△HPEと△FPEは等高三角形なので、面積比=底辺比。

よって、△HPE:△FPE=2:3=90:▢。

△FPE=90㎤÷2×3=135㎤。

 

また、△EBF=12cm×18cm÷2=108㎤。

 

以上から、四角形EBFH=108㎤+135㎤+90㎤=333㎤。

 

ここで、△BFH=18cm×(3cm+12cm)÷2=135㎤なので、

△EBH=333㎤ー135㎤=198㎤。

△EBH=EB×AH÷2でもあるので、

AH=198㎤×2÷12cm=33cm。

よって、四角形ABCD=(3cm+12cm)×(33cm+12cm)=675㎤

 

 

重要度【★★☆☆☆☆】

難易度【★★★★★☆】

 

 

 

 

2023年度 新規生徒募集のお知らせ

2023年度の家庭教師の新規生徒の募集を開始いたします。

 

【指導内容】

中学受験は算数で決まると言っても過言ではありません。

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「大手進学塾のフォロー」も「塾に通わず家庭教師メインでの受験」も対応可能です。

現状と目標を考慮して、最適な受験勉強のプランをご提示させて頂きます。

また、単発での「苦手単元の特訓」や「志望校の過去問の解説」、「模試などのテスト直し」もお受けいたします。

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【指導可能日時】

全曜日の全時間帯、指導可能です。すでに埋まっている時間帯は流動的ですので、お気軽にお問い合わせください。

 

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大阪北部を中心に、片道1時間以内の地域。(1時間~2時間の地域は応相談) 

 

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・受験算数(小6):¥6000/h~

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・学校のフォロー(小学算数・中学数学・中学英語・内部進学対策):¥4000/h~

 

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【合格実績(実入学者のみ)】

・2023年度

金蘭千里中、関西大倉中、鎌倉学園中、山脇学園中、成蹊中、品川女子学院

・2022年度

慶応義塾湘南藤沢中、三田国際学園中、明星中

・2021年度

大阪教育大学附属池田中、北嶺中、高槻中、金蘭千里中(女子2人)、香里ヌヴェール学院中

・2020年度

洛南高附中、海陽中(特別給費)、高槻中、四天王寺中(英数Ⅰ)、金蘭千里中(女子)、大阪桐蔭中、芦屋学園

・2019年度

甲陽学院中、四天王寺中(英数Ⅰ)、関西大学第一中、金蘭千里中(2人)、清風中(理Ⅰ)、智辯学園奈良カレッジ中(S選抜クラス)、関西大倉

・2018年度

神戸女学院中、高槻中、関西学院中(女子)、雲雀ヶ丘学園中

・2017年度

甲陽学院中、愛光中、金蘭千里中(女子)、親和中、大阪女学院中、アサンプション国際中

・2016年度

大阪星光中、神戸女学院中、洛星中(3人)、清風南海(S特進)、帝塚山中(女子)、金蘭千里

・2015年度

関西学院中、同志社女子中(WR)、金蘭千里中(女子)、関西学院千里国際中、関大北陽高(特進)

・2014年度

東大寺中、甲陽学院中、洛南高附中、西大和中、関西大学第一中、金蘭千里中(女子)、同志社女子中(2人)、関大北陽中、帝塚山中、履正社中、洛南高附小(3年編入)、慶應ニューヨーク高

・2013年度

洛南高附中(女子1人、男子1人)、四天王寺中(英数Ⅱ1人、英数Ⅰ1人)、関西学院中、高槻中(2人)、金蘭千里中(女子)、京都女子中、帝塚山中(女子)、大谷中

灘中2021年(面積比ー★★★★☆☆)

【灘中学 2021年度 1日目】

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~解説~

問われているのは辺BGと辺GFの長さの比なので、相似か面積比で攻めるしかありません。

提示されている条件に面積が多いので、面積比の方が良さそうですね。

          f:id:juken_sansu:20210423233442p:plain

 

だからといって、やみくもにあちこちの面積を求めるのはベストではありません。

方針をきちんと立てられれば、入試の限られた時間内でも正解できるでしょう。

ポイントは、「どこの面積比を求めればBG:GFが分かるか」です。

こういうときは、逆に「BG:GFが分かればどこの面積比も求められるか」を考えてみましょう。

BG:GF=△BDE:△FDE

     =△BDG:△FDG

     =△BEG:△FEG

なので、この3つの面積比のどれかを求めれば良いということです。

△ABC、△ADF、△CEFが与えられていることから、△BDE:△FDEを求めるのが最も楽そうですね。

よって、「何とかして△BDEの面積を求めればよい」という方針が定まりました。

 

△ABC=80㎠、AF:CF=1:3から、

△ABF=80×(1/4)=20㎠

△BCF=80×(3/4)=60㎠

がすぐに分りますね。

よって、

△BDF=△ABF-△ADF=20ー10=10㎠

△BEF=△BCFー△CEF=60-35=25㎠

となります。

          f:id:juken_sansu:20210424000046p:plain

ここから、

AD:DB=△ADF:△BDF=10:10=1:1

BE:EC=△BEF:△CEF=25:35=5:7

と求めることができますね。

          f:id:juken_sansu:20210424000614p:plain

よって、

△BDE=80×(1/2)×(5/12)=50/3㎠

△DEF=80ー(10+35+50/3)=55/3㎠

△BDE:△DEF=50/3:55/3=10:11

以上から、

BG:GF=10:11

となるので、

11÷10=1.1倍

 

 

重要度【★★★☆☆☆】

難易度【★★★★☆☆】

 

 

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【合格実績(実入学者のみ)】

・2021年度

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・2020年度

洛南高附中、海陽中(特別給費)、高槻中、四天王寺中(英数Ⅰ)、金蘭千里中(女子)、大阪桐蔭中、芦屋学園

・2019年度

甲陽学院中、四天王寺中(英数Ⅰ)、関西大学第一中、金蘭千里中(2人)、清風中(理Ⅰ)、智辯学園奈良カレッジ中(S選抜クラス)、関西大倉

・2018年度

神戸女学院中、高槻中、関西学院中(女子)、雲雀ヶ丘学園中

・2017年度

甲陽学院中、愛光中、金蘭千里中(女子)、親和中、大阪女学院中、アサンプション国際中

・2016年度

大阪星光中、神戸女学院中、洛星中(3人)、清風南海(S特進)、帝塚山中(女子)、金蘭千里

・2015年度

関西学院中、同志社女子中(WR)、金蘭千里中(女子)、関西学院千里国際中、関大北陽高(特進)

・2014年度

東大寺中、甲陽学院中、洛南高附中、西大和中、関西大学第一中、金蘭千里中(女子)、同志社女子中(2人)、関大北陽中、帝塚山中、履正社中、洛南高附小(3年編入)、慶應ニューヨーク高

・2013年度

洛南高附中(女子1人、男子1人)、四天王寺中(英数Ⅱ1人、英数Ⅰ1人)、関西学院中、高槻中(2人)、金蘭千里中(女子)、京都女子中、帝塚山中(女子)、大谷中

洛南高附中2014年(面積図ー★★★★☆☆)

洛南高等学校附属中学 2014年度】

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~解説~

条件を式に表すと、

[ウ]×[エ]=([ウ]+4)×([エ]-1)=([ウ]+9)×([エ]-2)

となりますね。

この様な条件にうってつけの解法が『面積図』です。

[ウ]×[エ]=☆

([ウ]+4)×([エ]-1)=☆

([ウ]+9)×([エ]-2)=☆

という3つのかけ算の式を、

[たての長さ]×[横の長さ]=[長方形の面積]

という公式に置きかえて考える方法です。

f:id:juken_sansu:20201118234236p:plain
3つの長方形を重ねて描くと、下図の様になります。

        f:id:juken_sansu:20201220174851p:plain

ここで、それぞれの部分の面積を、下図の様にA~Fで表しましょう。

         f:id:juken_sansu:20201119003012p:plain

 このとき、

AとBは、縦の長さも横の長さも同じ長方形なので、その面積も等しくなります。よって、

A=B

Dは縦の長さが1で横の長さが4の長方形なので、その面積は、

D=1×4=4

EとFは、縦の長さが同じで横の長さがそれぞれ4と5なので、その面積の比は、

E:F=4:5

以上を図中に書き込むと、下図の様になります。

         f:id:juken_sansu:20201220200640p:plain

ここで、最初の条件を思い出しましょう。

元の3つの長方形は、全て面積が等しいのでしたね。

[ウ]×[エ]=([ウ]+4)×([エ]-1)

なので、

A+A+C=A+C+4+④

よって、

A=④+4

と表すことができます。f:id:juken_sansu:20201220203643p:plain

また、

([ウ]+4)×([エ]-1)=([ウ]+9)×([エ]-2)

なので、

(④+4)+C+4+④=C+④+⑤

よって、

④+8=⑤

         f:id:juken_sansu:20201220204312p:plain

よって、

①=8

と分かりました。

④+4=36

36÷1=36・・・[ウ]

④=32

32÷4+1+1=10・・・[エ]

 

 

重要度【★★★☆☆☆】

難易度【★★★★☆☆】

 

 

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