甲陽中2023年(面積ー★★★★★☆)
【甲陽学院中学 2023年度 第一日】
~解説~
図形の問題なのに図が描かれていません。
まずは問題文から、おおよその図を描くところから始めないといけませんね。
図自体は最難関校としてはシンプルな方ですが、条件が特殊で、相似や面積比の基本解法で攻めてみてもどうにもなりません。
ひらめきの必要な難問です。
「面積が等しい」という条件から、「等積変形」を思い出せるかがポイントです。
まずは、等積変形の基本を確認しておきましょう。
上図の様に、直線ℓと直線mが平行であるとき、△ABCと△ABDは面積が等しくなります。
底辺ABの長さが同じなのはもちろんのこと、ℓとmが平行なら高さも同じになるからですね。
これを発展させると、△ACEと△BDEの面積も等しいということが分かります。
本問はこれの応用で、△PHE=△PGFから、直線HGと直線EFが平行であることになります。
HGとEFが平行なので、△DHGと△BFEは相似になります。
DH=12cm、BF=18cmから、その相似比は12:18=2:3。
よって、DG=②cm、BE=③cmと表せますね。
四角形ABCDは長方形なのでAB=DCです。
つまり、3cm+③cm=②cm+7cmなので、①=4cmと求められます。
よって、DG=②=8cm
△DHGと△BEFは2:3の相似なので、HG:FE=2:3。
また、HGとFEが平行なので、△HGPと△FEPも相似になります。
この相似比も2:3なので、HP:FP=2:3。
△HPEと△FPEは等高三角形なので、面積比=底辺比。
よって、△HPE:△FPE=2:3=90:▢。
△FPE=90㎤÷2×3=135㎤。
また、△EBF=12cm×18cm÷2=108㎤。
以上から、四角形EBFH=108㎤+135㎤+90㎤=333㎤。
ここで、△BFH=18cm×(3cm+12cm)÷2=135㎤なので、
△EBH=333㎤ー135㎤=198㎤。
△EBH=EB×AH÷2でもあるので、
AH=198㎤×2÷12cm=33cm。
よって、四角形ABCD=(3cm+12cm)×(33cm+12cm)=675㎤
重要度【★★☆☆☆☆】
難易度【★★★★★☆】
2023年度 新規生徒募集のお知らせ
2023年度の家庭教師の新規生徒の募集を開始いたします。
【指導内容】
中学受験は算数で決まると言っても過言ではありません。
算数が苦手な子は克服を、得意な子はさらに稼げるようにフォローします。
「大手進学塾のフォロー」も「塾に通わず家庭教師メインでの受験」も対応可能です。
現状と目標を考慮して、最適な受験勉強のプランをご提示させて頂きます。
また、単発での「苦手単元の特訓」や「志望校の過去問の解説」、「模試などのテスト直し」もお受けいたします。
算数に関することならどんなご要望でもオーダーメイドでお引き受けできますので、お気軽にご相談下さい。
【指導可能日時】
全曜日の全時間帯、指導可能です。すでに埋まっている時間帯は流動的ですので、お気軽にお問い合わせください。
【指導可能地域(対面授業)】
大阪北部を中心に、片道1時間以内の地域。(1時間~2時間の地域は応相談)
【指導料】
・受験算数(小6):¥6000/h~
・受験算数(小5):¥5000/h~
・受験算数(小1~4):¥4000/h~
・学校のフォロー(小学算数・中学数学・中学英語・内部進学対策):¥4000/h~
・オンライン授業(Skype等を利用した授業):¥3000/h~
※体験授業・面談:¥1000
【合格実績(実入学者のみ)】
・2023年度
金蘭千里中、関西大倉中、鎌倉学園中、山脇学園中、成蹊中、品川女子学院中
・2022年度
・2021年度
大阪教育大学附属池田中、北嶺中、高槻中、金蘭千里中(女子2人)、香里ヌヴェール学院中
・2020年度
洛南高附中、海陽中(特別給費)、高槻中、四天王寺中(英数Ⅰ)、金蘭千里中(女子)、大阪桐蔭中、芦屋学園中
・2019年度
甲陽学院中、四天王寺中(英数Ⅰ)、関西大学第一中、金蘭千里中(2人)、清風中(理Ⅰ)、智辯学園奈良カレッジ中(S選抜クラス)、関西大倉中
・2018年度
・2017年度
甲陽学院中、愛光中、金蘭千里中(女子)、親和中、大阪女学院中、アサンプション国際中
・2016年度
大阪星光中、神戸女学院中、洛星中(3人)、清風南海(S特進)、帝塚山中(女子)、金蘭千里中
・2015年度
関西学院中、同志社女子中(WR)、金蘭千里中(女子)、関西学院千里国際中、関大北陽高(特進)
・2014年度
東大寺中、甲陽学院中、洛南高附中、西大和中、関西大学第一中、金蘭千里中(女子)、同志社女子中(2人)、関大北陽中、帝塚山中、履正社中、洛南高附小(3年編入)、慶應ニューヨーク高
・2013年度
洛南高附中(女子1人、男子1人)、四天王寺中(英数Ⅱ1人、英数Ⅰ1人)、関西学院中、高槻中(2人)、金蘭千里中(女子)、京都女子中、帝塚山中(女子)、大谷中
灘中2021年(面積比ー★★★★☆☆)
【灘中学 2021年度 1日目】
~解説~
問われているのは辺BGと辺GFの長さの比なので、相似か面積比で攻めるしかありません。
提示されている条件に面積が多いので、面積比の方が良さそうですね。
だからといって、やみくもにあちこちの面積を求めるのはベストではありません。
方針をきちんと立てられれば、入試の限られた時間内でも正解できるでしょう。
ポイントは、「どこの面積比を求めればBG:GFが分かるか」です。
こういうときは、逆に「BG:GFが分かればどこの面積比も求められるか」を考えてみましょう。
BG:GF=△BDE:△FDE
=△BDG:△FDG
=△BEG:△FEG
なので、この3つの面積比のどれかを求めれば良いということです。
△ABC、△ADF、△CEFが与えられていることから、△BDE:△FDEを求めるのが最も楽そうですね。
よって、「何とかして△BDEの面積を求めればよい」という方針が定まりました。
△ABC=80㎠、AF:CF=1:3から、
△ABF=80×(1/4)=20㎠
△BCF=80×(3/4)=60㎠
がすぐに分りますね。
よって、
△BDF=△ABF-△ADF=20ー10=10㎠
△BEF=△BCFー△CEF=60-35=25㎠
となります。
ここから、
AD:DB=△ADF:△BDF=10:10=1:1
BE:EC=△BEF:△CEF=25:35=5:7
と求めることができますね。
よって、
△BDE=80×(1/2)×(5/12)=50/3㎠
△DEF=80ー(10+35+50/3)=55/3㎠
△BDE:△DEF=50/3:55/3=10:11
以上から、
BG:GF=10:11
となるので、
11÷10=1.1倍
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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2021年度 新規生徒募集のお知らせ
2021年度の家庭教師の新規生徒の募集を開始いたします。
【指導内容】
中学受験は算数で決まると言っても過言ではありません。
算数が苦手な子は克服を、得意な子はさらに稼げるようにフォローします。
「大手進学塾のフォロー」も「塾に通わず家庭教師メインでの受験」も対応可能です。
現状と目標を考慮して、最適な受験勉強のプランをご提示させて頂きます。
また、単発での「苦手単元の特訓」や「志望校の過去問の解説」、「模試などのテスト直し」もお受けいたします。
算数に関することならどんなご要望でもオーダーメイドでお引き受けできますので、お気軽にご相談下さい。
【指導可能日時】
全曜日の全時間帯、指導可能です。すでに埋まっている時間帯は流動的ですので、お気軽にお問い合わせください。
【指導可能地域】
大阪北部を中心に、片道1時間以内の地域。(1時間~2時間の地域は応相談)
【指導料】
・受験算数(小6):¥6000/h~
・受験算数(小5):¥5000/h~
・受験算数(小1~4):¥4000/h~
・学校のフォロー(小学算数・中学数学・中学英語・内部進学対策):¥4000/h~
・オンライン授業(Skype等を利用した授業):¥4000/h~
※体験授業・面談:¥1000
【合格実績(実入学者のみ)】
・2021年度
大阪教育大学附属池田中、北嶺中、高槻中、金蘭千里中(女子2人)、香里ヌヴェール学院中
・2020年度
洛南高附中、海陽中(特別給費)、高槻中、四天王寺中(英数Ⅰ)、金蘭千里中(女子)、大阪桐蔭中、芦屋学園中
・2019年度
甲陽学院中、四天王寺中(英数Ⅰ)、関西大学第一中、金蘭千里中(2人)、清風中(理Ⅰ)、智辯学園奈良カレッジ中(S選抜クラス)、関西大倉中
・2018年度
・2017年度
甲陽学院中、愛光中、金蘭千里中(女子)、親和中、大阪女学院中、アサンプション国際中
・2016年度
大阪星光中、神戸女学院中、洛星中(3人)、清風南海(S特進)、帝塚山中(女子)、金蘭千里中
・2015年度
関西学院中、同志社女子中(WR)、金蘭千里中(女子)、関西学院千里国際中、関大北陽高(特進)
・2014年度
東大寺中、甲陽学院中、洛南高附中、西大和中、関西大学第一中、金蘭千里中(女子)、同志社女子中(2人)、関大北陽中、帝塚山中、履正社中、洛南高附小(3年編入)、慶應ニューヨーク高
・2013年度
洛南高附中(女子1人、男子1人)、四天王寺中(英数Ⅱ1人、英数Ⅰ1人)、関西学院中、高槻中(2人)、金蘭千里中(女子)、京都女子中、帝塚山中(女子)、大谷中
洛南高附中2014年(面積図ー★★★★☆☆)
【洛南高等学校附属中学 2014年度】
~解説~
条件を式に表すと、
[ウ]×[エ]=([ウ]+4)×([エ]-1)=([ウ]+9)×([エ]-2)
となりますね。
この様な条件にうってつけの解法が『面積図』です。
[ウ]×[エ]=☆
([ウ]+4)×([エ]-1)=☆
([ウ]+9)×([エ]-2)=☆
という3つのかけ算の式を、
[たての長さ]×[横の長さ]=[長方形の面積]
という公式に置きかえて考える方法です。
3つの長方形を重ねて描くと、下図の様になります。
ここで、それぞれの部分の面積を、下図の様にA~Fで表しましょう。
このとき、
AとBは、縦の長さも横の長さも同じ長方形なので、その面積も等しくなります。よって、
A=B
Dは縦の長さが1で横の長さが4の長方形なので、その面積は、
D=1×4=4
EとFは、縦の長さが同じで横の長さがそれぞれ4と5なので、その面積の比は、
E:F=4:5
以上を図中に書き込むと、下図の様になります。
ここで、最初の条件を思い出しましょう。
元の3つの長方形は、全て面積が等しいのでしたね。
[ウ]×[エ]=([ウ]+4)×([エ]-1)
なので、
A+A+C=A+C+4+④
よって、
A=④+4
と表すことができます。
また、
([ウ]+4)×([エ]-1)=([ウ]+9)×([エ]-2)
なので、
(④+4)+C+4+④=C+④+⑤
よって、
④+8=⑤
よって、
①=8
と分かりました。
④+4=36
36÷1=36・・・[ウ]
④=32
32÷4+1+1=10・・・[エ]
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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