六甲学院中２０１５年（やりとり算ー★★★☆☆☆）
【六甲学院中学 ２０１５年度 Ａ日程】
～解説～
(1)
Ｂ君に関する情報が多いので、まずはそこに着目しましょう。
Ａ君、Ｂ君が最初に持っていたカードの枚数をそれぞれ③枚、3⃣枚とします。
すると、1回目のやりとりは下図の様になります。
最初、Ｂ君はＡ君より３６枚多く持っていたので、
3⃣＝③＋３６
１回目のやりとり後、Ｂ君は６６枚持っていたので、
①＋２⃣＝６６
という、２つの条件から式が作れました。
あとは、消去算です。
３⃣＝③＋３６ ⇒ 1⃣＝①＋１２ ⇒ ①＝1⃣－１２
よって、
①＋2⃣＝６６ ⇒ 1⃣－１２＋2⃣＝６６ ⇒ 3⃣－１２＝６６ ⇒ 3⃣＝７８枚
(2)
１回目のやりとり後にＣ君が持っていたカードの枚数を❸枚とします。
すると、２回目のやりとりは下図の様になります。
２回目のやりとりでＣ君は、➊枚を渡し２２枚もらうので、
❸－❶＋２２＝４６
❷＋２２＝４６
❷＝２４
❶＝１２
よって、
❸＝３６枚
(3)
(1)から、1⃣＝２６なので、
①＝1⃣－１２＝１４
③＝４２ ・・・Ａ君が最初に持っていたカードの枚数
最初にＣ君が持っていたカードの枚数を🈪枚とします。
１回目のやりとりをまとめ直すとした図の様になります。
(2)と同様に考えて、
🈪－🈩＋２６＝３６
🈪＝１５ ・・・Ｃ君が最初に持っていたカードの枚数
これで、３人が最初に持っていたカードの枚数が全て分かったので、全てのやりとりをまとめ直すとした図の様になります。
よって、３４枚
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★☆☆☆】
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洛南高附中２０１７年（回転体ー★★★★★☆）
【洛南高等学校附属中学 ２０１７年度】
～解説～
まずは図１を回転させてできる立体を考えましょう。
上の右の図の様な、円すいを２つくっつけた立体ができますね。
この円すい１つの側面積を[1]㎠、体積を①㎤としましょう。
このとき、上右図の立体の体積Ｖは、
Ｖ＝②㎤
となります。
また、上右図の立体の表面積Ｓは、円すいを２つくっつけたことで円すいの底面が表面ではなくなるので、
Ｓ＝[2]㎠
となります。
(1)
いちいち立体図を描いて考える必要はありません。
平面図のまま処理する解法を習得しておきましょう。
△ＡＢＰを回転させると出来るのが円すいで、その側面積は辺ＡＢが回転して作ったものです。
その面積が[1]㎠なので、平面図上では、辺ＡＢ＝[1]㎠と表しておきましょう。
同様に、辺ＢＱも同じ大きさの円すいの側面積を作るので、辺ＢＱ＝[1]㎠と表せます。
次に、△ＡＣＱの回転体について考えます。
△ＡＣＱを回転させても円すいが出来、その側面積は辺ＡＣが作ったものです。
この円すいは、△ＡＢＰを回転させて作った円すいの２倍の大きさです。
よって、その側面積は、相似比の２乗になるので４倍の[4]㎠です。
平面図上では、辺ＡＣ＝[4]㎠と表せます。
ここで、辺ＡＢ＝[1]㎠なので、辺ＢＣ＝[3]㎠となります。
同様に、辺ＣＤ＝[3]㎠と表せます。
△ＡＥＲの回転体も同様に考えます。
この円すいは、△ＡＢＰを回転させて作った円すいの３倍の大きさなので、側面積はその９倍の[9]㎠です。
よって、辺ＡＥ＝[9]㎠となり、辺ＡＣ＝[4]㎠なので、辺ＣＥ＝[5]㎠と表せます。
以降も同様に考えましょう。
ＥＦ＝[7]㎠、ＦＧ＝[9]㎠となるので、以上をまとめると、上図が完成します。
奇数列が現れているのがポイントですね。
では、問題を解いていきましょう。
上図の様に、図２の回転体の表面積は、
[1]㎠＋[1]㎠＋[3]㎠＋[3]㎠＝[8]㎠
[8]㎠÷[2]㎠＝４倍
(2)
体積についても、同じ様に考えてみましょう。
△ＡＢＰを回転させると出来るのが円すいで、その体積が①㎤なので、平面図上では△ＡＢＰ＝①㎤と表しておきましょう。
同様に、△ＱＢＰも同じ大きさの円すいを作るので、△ＱＢＰ＝①㎤と表せます。
次に、△ＡＣＱの回転体について考えます。
この円すいは、△ＡＢＰを回転させて作った円すいの２倍の大きさです。
よって、その体積は相似比の３乗になるので８倍の⑧㎤です。
平面図上では△ＡＣＱ＝⑧㎤と表せ、△ＡＢＰ＝ＱＢＰ＝①㎤なので、
△ＢＣＱ＝⑥㎤となります。
△ＡＥＲの回転体も同様に考えます。
この円すいは、△ＡＢＰを回転させて作った円すいの３倍の大きさなので、体積はその２７倍の㉗㎤です。
よって、△ＣＥＤ＝㉗㎤ー①㎤×３－⑥㎤×２＝⑫㎤と表せます。
以降も同様に考えて、まとめると下図の様になります。
では、問題を解いていきましょう。
図３の回転体の体積は、⑫㎤＋⑫㎤＝㉔㎤なので、
㉔㎤÷②㎤＝１２倍
(3)
すでに準備は完了しているので、計算するだけです。
図４の回転体の表面積は、
[1]㎠×２＋[3]㎠×４＋[5]㎠×２＋[7]㎠×２＋[9]㎠×２＝[56]㎠
回転軸の逆側にもある分は、無視できることに注意しましょう。
よって、
[56]㎠÷[2]㎠＝２８倍
体積は、
（①㎤×２＋⑥㎤×２＋⑫㎤×２＋⑱㎤×２＋㉔㎤×２）÷②㎤＝６１倍
(4)
これはパズル問題です。
色々と試してみて、上手く条件を満たすような塗り方を見つけるしかありません。
(1)
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★☆☆☆】
(2)
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
(3)
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
(4)
重要度【★☆☆☆☆☆】
難易度【★★★★★☆】
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明星中２０２０年（立体図形ー★★★★☆☆）
【明星中学 ２０２０年度 後期】
～解説～
(1)
１階には直方体と半円柱が、２階には三角柱がありますね。
それぞれを求めて足し合わせましょう。
・直方体
３ｃｍ×８ｃｍ×１０ｃｍ＝２４０㎤
・半円柱
４ｃｍ×４ｃｍ×３．１４×１０ｃｍ÷２＝２５１．２㎤
・三角柱
６ｃｍ×８ｃｍ÷２×３ｃｍ＝７２㎤
以上から、
２４０㎤＋２５１．２㎤＋７２㎤＝５６３．２㎤
(2)
切断面は、下図の様になります。
切断面の作り方（見つけ方）は、中学受験算数ではかなり難易度が高い単元ですね。
まず、切断面は点Ａと点Ｂを通るので、その延長線上にある点Ｃも通ると分かります。
同様に、点Ｂと点Ｏを通るので、その延長線上にある点Ｄも通ります。
『平行な２面にある切断線は必ず平行になる』ので、直線ＯＤと平行で点Ｃを通る直線が底面にあると分かります。
点Ｃは点Ｂの真下の点なので、点Ｏや点Ｄの真下の点である点Ｏ’や点Ｄ’を通る直線ＣＤ’が切断線です。（このとき、直線ＡＣと直線ＤＤ’も平行になっています。）
同様に、直線ＡＣと平行で、点Ｏを通る直線が三角柱の底面にあるので、点Ｏの真上の点である点Ｅも通ります。
最後に、点Ａと点Ｅを結べば、六角形ＡＣＤ’ＤＯＥが切断面だと分かります。
では、この六角形の面積を求めましょう。
ＯＥの長さは、三角柱の底面の三角形内にある相似を利用すれば求められます。
ＥＯ：６ｃｍ＝４ｃｍ：８ｃｍ
よって、ＥＯ＝３ｃｍ
上図の様に、この六角形は台形と長方形を組み合わせた形なので、その面積は、
（３ｃｍ＋６ｃｍ）×５ｃｍ÷２＋１０ｃｍ×９ｃｍ＝２２．５㎠＋９０㎠＝１１２．５㎠
(1)
重要度【★★★★★★】
難易度【★☆☆☆☆☆】
(2)
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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六甲学院中２０１７年（面積ー★★★☆☆☆）
【六甲学院中学 ２０１７年度 Ｂ日程】
～解説～
中学受験算数の面積の問題としては、有名な問題です。
補助線の引き方が特殊なので、知識として解法を知っていないと、自力で思いつくのはやや大変でしょう。
２本の点線をどう使うかがポイントですね。
下図の様に、点Ａや点Ｂを通り、正方形の辺と平行な線を引いてみましょう。
すると、この正方形は、下図の様に９つに分けることができます。
このとき、△ＡＰＤは長方形ＡＰＤＩを対角線で切ったものなので、△ＤＩＡと合同で、面積が等しくなります。この面積を、◯㎠とすると、
△ＡＰＤ＝△ＤＩＡ＝◯㎠
同様に、
△ＡＭＢ＝△ＢＪＡ＝▢㎠
△ＢＮＣ＝△ＣＫＢ＝◇㎠
△ＣＯＤ＝△ＤＬＣ＝☆㎠
とおくことができます。
また、真ん中の長方形ＭＮＯＰは、ＭＮ＝５ｃｍ、ＮＯ＝３ｃｍなので、その面積は、
５ｃｍ×３ｃｍ＝１５㎠
正方形ＩＪＫＬの面積は、
１２ｃｍ×１２ｃｍ＝１４４㎠
ここで、
正方形ＩＪＫＬ＝◯＋◯＋▢＋▢＋◇＋◇＋☆＋☆＋◎
なので、
◯＋◯＋▢＋▢＋◇＋◇＋☆＋☆＋１５㎠＝１４４㎠
◯＋◯＋▢＋▢＋◇＋◇＋☆＋☆＝１４４㎠ー１５㎠＝１２９㎠
◯＋▢＋◇＋☆＝１２９㎠÷２＝６４．５㎠
よって、
四角形ＡＢＣＤ＝◯＋▢＋◇＋☆＋◎
＝６４．５㎠＋１５㎠
＝７９．５㎠
重要度【★★★★★☆】
難易度【★★★☆☆☆】
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神戸女学院中２０１７年（点の移動ー★★★★☆☆）
【神戸女学院中学 ２０１７年度】
～解説～
(1)
この単元は、まずは作図が必須ですね。
２秒間で、点Ｐは、
２ｃｍ/秒×２秒＝４ｃｍ
進み、点Ｑは、
１ｃｍ/秒×２秒＝２ｃｍ
進むので、２秒後の状態は下図の通りです。
重なっている部分（赤色の部分）の面積の求め方はいくつか考えられますが、線ＰＱで２つの三角形に切り分けてみましょう。
△ＢＰＱ＝２ｃｍ×６ｃｍ÷２＝６㎠
△ＸＢＱと△ＸＰＡは相似なので、
ＢＸ：ＰＸ＝ＢＱ：ＰＡ＝２ｃｍ：４ｃｍ＝１：２
よって、
△ＸＰＱ＝△ＢＰＱ×（ＸＰ/ＢＰ）
＝６㎠×（２/３）
＝４㎠
△ＱＣＰ＝６ｃｍ×６ｃｍ÷２＝１８㎠
△ＹＱＣと△ＹＤＰは相似なので、
ＣＹ：ＰＹ＝ＱＣ：ＤＰ＝６ｃｍ：４ｃｍ＝３：２
よって、
△ＱＹＰ＝△ＱＣＰ×（ＰＹ/ＰＣ）
＝１８㎠×（２/５）
＝７．２㎠
以上から、
４㎠＋７．２㎠＝１１．２㎠
(2)
５秒後の状態は、下図の通りです。
本問の重なっている部分（赤色の部分）の面積の求め方もいくつか考えられます。
△ＡＤＱを基準に面積比で求めてみましょう。
△ＡＤＱ＝８ｃｍ×６ｃｍ÷２＝２４㎠
後は、ＡＸ：ＸＱとＤＹ：ＹＱが分かれば良いですね。
今の形のままでは相似が見つからないので、補助線を引いて作る必要があります。
辺ＡＤと辺ＢＰの延長線を引いて、その交点を点Ｅとしましょう。
この、相似を作る補助線の引き方は、最難関校志望生にとっては必須項目です。
△ＢＣＰと△ＥＤＰは相似なので、
ＢＣ：ＥＤ＝ＣＰ：ＤＰ＝４ｃｍ：２ｃｍ＝２：１
よって、ＥＤ＝４ｃｍ
△ＢＱＸと△ＥＡＸは相似なので、
ＱＸ：ＡＸ＝ＢＱ：ＥＡ＝５ｃｍ：１２ｃｍ＝５：１２
△ＢＱＹと△ＥＤＹは相似なので、
ＱＹ：ＤＹ＝ＢＱ：ＥＤ＝５ｃｍ：４ｃｍ＝５：４
以上から、
△ＱＸＹ＝△ＱＡＤ×（ＱＸ/ＱＡ）×（ＱＹ/ＱＤ）
＝２４㎠×（５/１７）×（５/９）
＝２００/５１㎠
(3)
おおよその見当を付けるために、ポイントとなるタイミングごとに図を描いて面積を求めていきましょう。
ただし、点Ｐが辺ＢＣ上にいるとき（７～１１秒後や２１～２５秒後など）、△ＢＰＣの面積は０㎠になるので考える必要はありません。
同様に、点Ｑが辺ＡＤ上にいるとき（１４～２２秒後など）も考えなくても良いですね。
・０秒後
０秒後の状態は上図の通りで、赤色の部分の面積は、
６ｃｍ×４ｃｍ÷２＝１２㎠
となり、いきなり１２㎠となる時刻が見つかりました。
これを答えとしたくもなりますが、問題文に「出発してから何秒後」とあるので、０秒後は含まないと解釈して、この次に１２㎠になる時刻を求めましょう。
・４秒後
点Ｐが点Ｄに到着する４秒後の状態は上図の通りです。
△ＢＱＤ＝４ｃｍ×６ｃｍ÷２＝１２㎠
△ＢＱＸと△ＤＡＸは相似なので、
ＢＸ：ＤＸ＝ＢＱ：ＤＡ＝４ｃｍ：８ｃｍ＝１：２
よって、
△ＸＱＤ＝△ＢＱＤ×（ＸＤ/ＢＤ）
＝１２㎠×（２/３）
＝８㎠
以上から、０秒後の面積が１２㎠、４秒後の面積が８㎠と分かりました。
この間で、点Ｐと点Ｑの動き方は一定なので、この間の面積は、１２㎠から８㎠へと減り続けることになります。
よって、この間には０秒後以外に１２㎠になることはありません。
同様に、ポイントとなる時刻（点Ｐや点Ｑの動き方が変化する瞬間、つまり曲がり角に来た瞬間）を調べていきましょう。
・７秒後
７秒後の状態は上図の通りです。
このとき、点Ｐが辺ＢＣ上にあるので、△ＢＰＣが作れません。
よって、２つの三角形が重なる部分の面積は０㎠です。
・１１秒後
・１４秒後
・２５秒後
以上の様に、７秒後から２５秒まではずっと、２つの三角形が重なる部分の面積は０㎠です。
・２８秒後
２８秒後の状態は上図の通りです。
このとき、点Ｐと点Ｑが同時にスタート地点に戻ってきているので、０秒後と同じ図になっています。
２つの三角形が重なる部分の面積は１２㎠で、これが０秒後の次に、初めて１２㎠になる瞬間です。
よって、２８秒後
(1)(2)
重要度【★★★★★☆】
難易度【★★★☆☆☆】
(3)
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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