洛南高附中２０１７年（回転体ー★★★★★☆）
【洛南高等学校附属中学 ２０１７年度】
～解説～
まずは図１を回転させてできる立体を考えましょう。
上の右の図の様な、円すいを２つくっつけた立体ができますね。
この円すい１つの側面積を[1]㎠、体積を①㎤としましょう。
このとき、上右図の立体の体積Ｖは、
Ｖ＝②㎤
となります。
また、上右図の立体の表面積Ｓは、円すいを２つくっつけたことで円すいの底面が表面ではなくなるので、
Ｓ＝[2]㎠
となります。
(1)
いちいち立体図を描いて考える必要はありません。
平面図のまま処理する解法を習得しておきましょう。
△ＡＢＰを回転させると出来るのが円すいで、その側面積は辺ＡＢが回転して作ったものです。
その面積が[1]㎠なので、平面図上では、辺ＡＢ＝[1]㎠と表しておきましょう。
同様に、辺ＢＱも同じ大きさの円すいの側面積を作るので、辺ＢＱ＝[1]㎠と表せます。
次に、△ＡＣＱの回転体について考えます。
△ＡＣＱを回転させても円すいが出来、その側面積は辺ＡＣが作ったものです。
この円すいは、△ＡＢＰを回転させて作った円すいの２倍の大きさです。
よって、その側面積は、相似比の２乗になるので４倍の[4]㎠です。
平面図上では、辺ＡＣ＝[4]㎠と表せます。
ここで、辺ＡＢ＝[1]㎠なので、辺ＢＣ＝[3]㎠となります。
同様に、辺ＣＤ＝[3]㎠と表せます。
△ＡＥＲの回転体も同様に考えます。
この円すいは、△ＡＢＰを回転させて作った円すいの３倍の大きさなので、側面積はその９倍の[9]㎠です。
よって、辺ＡＥ＝[9]㎠となり、辺ＡＣ＝[4]㎠なので、辺ＣＥ＝[5]㎠と表せます。
以降も同様に考えましょう。
ＥＦ＝[7]㎠、ＦＧ＝[9]㎠となるので、以上をまとめると、上図が完成します。
奇数列が現れているのがポイントですね。
では、問題を解いていきましょう。
上図の様に、図２の回転体の表面積は、
[1]㎠＋[1]㎠＋[3]㎠＋[3]㎠＝[8]㎠
[8]㎠÷[2]㎠＝４倍
(2)
体積についても、同じ様に考えてみましょう。
△ＡＢＰを回転させると出来るのが円すいで、その体積が①㎤なので、平面図上では△ＡＢＰ＝①㎤と表しておきましょう。
同様に、△ＱＢＰも同じ大きさの円すいを作るので、△ＱＢＰ＝①㎤と表せます。
次に、△ＡＣＱの回転体について考えます。
この円すいは、△ＡＢＰを回転させて作った円すいの２倍の大きさです。
よって、その体積は相似比の３乗になるので８倍の⑧㎤です。
平面図上では△ＡＣＱ＝⑧㎤と表せ、△ＡＢＰ＝ＱＢＰ＝①㎤なので、
△ＢＣＱ＝⑥㎤となります。
△ＡＥＲの回転体も同様に考えます。
この円すいは、△ＡＢＰを回転させて作った円すいの３倍の大きさなので、体積はその２７倍の㉗㎤です。
よって、△ＣＥＤ＝㉗㎤ー①㎤×３－⑥㎤×２＝⑫㎤と表せます。
以降も同様に考えて、まとめると下図の様になります。
では、問題を解いていきましょう。
図３の回転体の体積は、⑫㎤＋⑫㎤＝㉔㎤なので、
㉔㎤÷②㎤＝１２倍
(3)
すでに準備は完了しているので、計算するだけです。
図４の回転体の表面積は、
[1]㎠×２＋[3]㎠×４＋[5]㎠×２＋[7]㎠×２＋[9]㎠×２＝[56]㎠
回転軸の逆側にもある分は、無視できることに注意しましょう。
よって、
[56]㎠÷[2]㎠＝２８倍
体積は、
（①㎤×２＋⑥㎤×２＋⑫㎤×２＋⑱㎤×２＋㉔㎤×２）÷②㎤＝６１倍
(4)
これはパズル問題です。
色々と試してみて、上手く条件を満たすような塗り方を見つけるしかありません。
(1)
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★☆☆☆】
(2)
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
(3)
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
(4)
重要度【★☆☆☆☆☆】
難易度【★★★★★☆】
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