神戸女学院中２０１７年（点の移動ー★★★★☆☆）
【神戸女学院中学 ２０１７年度】
～解説～
(1)
この単元は、まずは作図が必須ですね。
２秒間で、点Ｐは、
２ｃｍ/秒×２秒＝４ｃｍ
進み、点Ｑは、
１ｃｍ/秒×２秒＝２ｃｍ
進むので、２秒後の状態は下図の通りです。
重なっている部分（赤色の部分）の面積の求め方はいくつか考えられますが、線ＰＱで２つの三角形に切り分けてみましょう。
△ＢＰＱ＝２ｃｍ×６ｃｍ÷２＝６㎠
△ＸＢＱと△ＸＰＡは相似なので、
ＢＸ：ＰＸ＝ＢＱ：ＰＡ＝２ｃｍ：４ｃｍ＝１：２
よって、
△ＸＰＱ＝△ＢＰＱ×（ＸＰ/ＢＰ）
＝６㎠×（２/３）
＝４㎠
△ＱＣＰ＝６ｃｍ×６ｃｍ÷２＝１８㎠
△ＹＱＣと△ＹＤＰは相似なので、
ＣＹ：ＰＹ＝ＱＣ：ＤＰ＝６ｃｍ：４ｃｍ＝３：２
よって、
△ＱＹＰ＝△ＱＣＰ×（ＰＹ/ＰＣ）
＝１８㎠×（２/５）
＝７．２㎠
以上から、
４㎠＋７．２㎠＝１１．２㎠
(2)
５秒後の状態は、下図の通りです。
本問の重なっている部分（赤色の部分）の面積の求め方もいくつか考えられます。
△ＡＤＱを基準に面積比で求めてみましょう。
△ＡＤＱ＝８ｃｍ×６ｃｍ÷２＝２４㎠
後は、ＡＸ：ＸＱとＤＹ：ＹＱが分かれば良いですね。
今の形のままでは相似が見つからないので、補助線を引いて作る必要があります。
辺ＡＤと辺ＢＰの延長線を引いて、その交点を点Ｅとしましょう。
この、相似を作る補助線の引き方は、最難関校志望生にとっては必須項目です。
△ＢＣＰと△ＥＤＰは相似なので、
ＢＣ：ＥＤ＝ＣＰ：ＤＰ＝４ｃｍ：２ｃｍ＝２：１
よって、ＥＤ＝４ｃｍ
△ＢＱＸと△ＥＡＸは相似なので、
ＱＸ：ＡＸ＝ＢＱ：ＥＡ＝５ｃｍ：１２ｃｍ＝５：１２
△ＢＱＹと△ＥＤＹは相似なので、
ＱＹ：ＤＹ＝ＢＱ：ＥＤ＝５ｃｍ：４ｃｍ＝５：４
以上から、
△ＱＸＹ＝△ＱＡＤ×（ＱＸ/ＱＡ）×（ＱＹ/ＱＤ）
＝２４㎠×（５/１７）×（５/９）
＝２００/５１㎠
(3)
おおよその見当を付けるために、ポイントとなるタイミングごとに図を描いて面積を求めていきましょう。
ただし、点Ｐが辺ＢＣ上にいるとき（７～１１秒後や２１～２５秒後など）、△ＢＰＣの面積は０㎠になるので考える必要はありません。
同様に、点Ｑが辺ＡＤ上にいるとき（１４～２２秒後など）も考えなくても良いですね。
・０秒後
０秒後の状態は上図の通りで、赤色の部分の面積は、
６ｃｍ×４ｃｍ÷２＝１２㎠
となり、いきなり１２㎠となる時刻が見つかりました。
これを答えとしたくもなりますが、問題文に「出発してから何秒後」とあるので、０秒後は含まないと解釈して、この次に１２㎠になる時刻を求めましょう。
・４秒後
点Ｐが点Ｄに到着する４秒後の状態は上図の通りです。
△ＢＱＤ＝４ｃｍ×６ｃｍ÷２＝１２㎠
△ＢＱＸと△ＤＡＸは相似なので、
ＢＸ：ＤＸ＝ＢＱ：ＤＡ＝４ｃｍ：８ｃｍ＝１：２
よって、
△ＸＱＤ＝△ＢＱＤ×（ＸＤ/ＢＤ）
＝１２㎠×（２/３）
＝８㎠
以上から、０秒後の面積が１２㎠、４秒後の面積が８㎠と分かりました。
この間で、点Ｐと点Ｑの動き方は一定なので、この間の面積は、１２㎠から８㎠へと減り続けることになります。
よって、この間には０秒後以外に１２㎠になることはありません。
同様に、ポイントとなる時刻（点Ｐや点Ｑの動き方が変化する瞬間、つまり曲がり角に来た瞬間）を調べていきましょう。
・７秒後
７秒後の状態は上図の通りです。
このとき、点Ｐが辺ＢＣ上にあるので、△ＢＰＣが作れません。
よって、２つの三角形が重なる部分の面積は０㎠です。
・１１秒後
・１４秒後
・２５秒後
以上の様に、７秒後から２５秒まではずっと、２つの三角形が重なる部分の面積は０㎠です。
・２８秒後
２８秒後の状態は上図の通りです。
このとき、点Ｐと点Ｑが同時にスタート地点に戻ってきているので、０秒後と同じ図になっています。
２つの三角形が重なる部分の面積は１２㎠で、これが０秒後の次に、初めて１２㎠になる瞬間です。
よって、２８秒後
(1)(2)
重要度【★★★★★☆】
難易度【★★★☆☆☆】
(3)
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
 |
|
 |
|
