甲陽学院中２０１２年（角度ー★★★☆☆☆）
【甲陽学院中学 ２０１２年度 第二日】
～解説～
算数なのに、数字が１文字も出てこないという珍しい問題ですね。
考えられる数値は、
「三角形の内角の和」＝１８０°
と
「一直線」＝１８０°
ぐらいです。
『外角定理』と『ブーメラン型』を駆使して、「１８０°」が何個分なのかを見つけるのが基本解法です。
まずは、補助線を引いてみて、すぐに見つかる三角形を確定していきましょう。
これで１８０°が確定しました。
残っている角度は下図の通りですね。
下図の様に、もう１つ三角形が作れますね。
これで、２つ目の１８０°が確定しました。
残っている角度は下図の通りですね。
ここで、下図の様に、青線内で外角定理を使いましょう。
すると、
緑色の角度の和＝赤色の角度
となるので、残っている角度は下図の様に移せます。
今度は、下図の様に、青線内でブーメラン型を使いましょう。
すると、
緑色の角度の和＝赤色の角度
となるので、残っている角度は、上図の黒色の角度と赤色の角度の和になります。
これは、一直線の角度なので１８０°です。
以上から、全ての角度の和は、
１８０°×３＝５４０°
重要度【★★★★★☆】
難易度【★★★☆☆☆】
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洛星中２０１９年（場合の数ー★★★☆☆☆）
【洛星中学 ２０１９年度】
～解説～
ビンゴの問題ですね。
１列が完成したら、そこでゲーム終了になることに注意しましょう。
これぐらいの大きさなら、難しく考えずに書き出してしまう方が良いでしょう。
(ア)
１～５の欄を埋めた時点では１列が完成しておらず、１～６の欄を埋めたら１列が完成したということは、下図の様に、２段目の列に完成したということですね。
よって、「４」「５」「６」の欄は「〇」と確定します。
後は、「１」「２」「３」の欄に、１段目の列が完成しないように「〇」と「×」を入れていけばＯＫです。
「１」「２」「３」の欄に入る「〇」の個数で場合分けをして考えましょう。
・「〇」が０個のとき
１通り
・「〇」が１個のとき
「１」「２」「３」のどこに「〇」を入れても、残り２つが「×」ならば条件を満たします。よって、３通り。
・「〇」が２個のとき
「１」「２」「３」のどこか２つに「〇」を入れても、残り１つが「×」ならば条件を満たします。よって、３通り。
・「〇」が３個のとき
「１」「２」「３」の３か所に「〇」を３つ入れると、１段目に列が完成してしまうので条件を満たしません。よって、０通り。
以上から、
１＋３＋３＋０＝７通り
※別解
「１」「２」「３」の３か所に「〇」か「×」を入れるとき、全パターンは、
２×２×２＝８通り
そのうち、「１」＝「〇」、「２」＝「〇」、「３」＝「〇」の１パターンのみ条件を満たさないので、
８－１＝７通り
(イ)
１～６の欄を埋めた時点では１列が完成しておらず、１～７の欄を埋めたら１列が完成したということは、下図の様に３パターンが考えられます。
右のパターンを見落とさないように注意しましょう。
(ア)と同様に、それぞれのパターンについて「〇」の個数で場合分けをして考えていきましょう。
まずは左のパターンについて、
・「〇」が０個のとき
１通り
・「〇」が１個のとき
「２」「３」「５」「６」のどこに「〇」を入れても条件を満たすので４通り。
・「〇」が２個のとき
列が完成しないように「〇」を２個入れるには、「２」「５」、「２」「６」、「３」「６」の３通り。
・「〇」が３個のとき
列が完成しないように「〇」を３個入れることはできないので０通り。
・「〇」が４個のとき
０通り
よって、左のパターンは、
１＋４＋３＋０＋０＝８通り
次に、真ん中のパターンについて、
・「〇」が０個のとき
１通り
・「〇」が１個のとき
「１」「２」「４」「６」のどこに「〇」を入れても条件を満たすので４通り。
・「〇」が２個のとき
列が完成しないように「〇」を２個入れるには、「１」「６」、「２」「４」、「２」「６」の３通り。
・「〇」が３個のとき
列が完成しないように「〇」を３個入れることはできないので０通り。
・「〇」が４個のとき
０通り
よって、左のパターンは、
１＋４＋３＋０＋０＝８通り
最期に、右のパターンについて、
・「〇」が０個のとき
１通り
・「〇」が１個のとき
「２」「６」のどちらに「〇」を入れても列が完成してしまうので０通り。
・「〇」が２個のとき
０通り。
よって、右のパターンは、
１＋０＋０＝１通り
以上から、
８＋８＋１＝１７通り
(1)
重要度【★★★★★☆】
難易度【★★☆☆☆☆】
(2)
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★☆☆☆】
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洛南高附中２０１９年（相似・面積比ー★★★★☆☆）
【洛南高等学校附属中学 ２０１９年度】
～解説～
まずは、分かることを図に書き込んでいきましょう。
具体的に分っている長さが「３ｃｍ」１つしかないので、相似で攻めるしかなさそうですね。
直角が目に付いたら、まずは「〇✖直角型相似」を探してみましょう。
三角形ＡＢＥは直角三角形なので、
∠ＡＢＥ＝〇° 、∠ＡＥＢ＝✖°
としましょう。
ここで、三角形 ＢＣＦは三角形ＡＢＥと合同なので、
∠ＢＣＦ＝〇° 、∠ＢＦＣ＝✖°
となります。
また、
∠ＡＢＣ＝９０° 、∠ＡＢＥ＝〇°
なので、
∠ＧＢＣ＝９０°ー〇°＝✖°
と分かります。
よって、三角形ＧＢＣに着目すると、
∠ＧＢＣ＝✖° 、∠ＧＣＢ＝〇°
なので、
∠ＢＧＣ＝９０°
と分かります。
また、三角形ＦＧＢも、
∠ＦＢＧ＝〇° 、∠ＦＧＢ＝９０°
から、
∠ＢＦＧ＝✖°
となります。
以上から、
三角形ＡＢＥと三角形ＢＣＦと三角形ＧＣＢと三角形ＧＢＦが相似だと分かりました。
三角形ＡＢＥにおいて、
ＡＥ：ＡＢ＝１：３
なので、三角形ＧＣＢにおいて、
ＧＢ：ＧＣ＝１：３
よって、
ＧＢ＝１ｃｍ
同様に、三角形ＧＢＦにおいても、
ＧＦ：ＧＢ＝１：３
なので、
ＧＦ＝１/３ｃｍ
よって、
ＦＣ＝１０/３ｃｍ
以上から、
三角形ＢＣＦの面積＝１０/３ｃｍ×１ｃｍ÷２＝５/３㎠
三角形ＢＦＣと三角形ＡＦＣは等高三角形（底辺を辺ＡＢとすると高さが等しい）なので、
三角形ＢＦＣの面積：三角形ＡＦＣの面積＝ＢＦ：ＡＦ＝１：２
よって、
三角形ＡＦＣの面積＝５/３㎠×２＝１０/３㎠
以上から、
三角形ＡＢＣの面積＝５/３㎠＋１０/３㎠＝５㎠
よって、
正方形ＡＢＣＤの面積＝５㎠×２＝１０㎠
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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西大和中２０１９年（規則性ー★★☆☆☆☆）
【西大和学園中学 ２０１９年度】
～解説～
４回目、５回目の図も実際に描いてみて調べましょう。
そこまでの結果を表にまとめると、下の様になります。
図形上の理屈から規則を見つけ出すのが理想ですが、中学受験算数では、数字の並びから規則を推測するのも立派な解き方です。
白と黒の個数は、２回に１回しか数字が変わっていませんね。
その数列は、
白：１，９，２５・・・
黒：０，４，１６・・・
となっていますが、これらの数字は『平方数（同じ数を２回かけた数）』になっていることには気付けるようにしておきましょう。
それでは、白と黒がそれぞれ３１回目に何個あるかを求めましょう。
・３１回目の白の個数
３１÷２＝１５・・・１
よって、白の数列の１６番目の数を求めればよいですね。
白：１（＝１×１），９（＝３×３），２５（＝５×５）・・・
なので、１６番目の数は、
１＋２×（１６－１）＝３１
３１×３１＝９６１
・３１回目の黒の個数
黒は、最初の０だけ１回しか出てこず、それ以降は２回ずつ出てくるので、
（３１－１）÷２＝１５・・・０
よって、黒の数列の１６番目の数を求めればよいですね。
黒：０（＝０×０），４（＝２×２），１６（＝４×４）・・・
なので、１６番目の数は、
０＋２×（１６－１）＝３０
３０×３０＝９００
よって、タイルは白と黒を合わせて、
９６１＋９００＝１８６１個
※別解
合計の個数の数列から解くこともできます。
合計：１，５，１３，２５，４１・・・
この数列は、＋４，＋８，＋１２，＋１６・・・
となっているので、『階差数列』です。
階差数列の解法を習得している子は、こちらから解いた方が早いですね。
４＋４×（３０－１）＝１２０
１＋（４＋１２０）×３０÷２＝１８６１個
重要度【★★★★★★】
難易度【★☆☆☆☆☆】
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神戸女学院中２０１８年（面積ー★★★★☆☆）
【神戸女学院中学 ２０１８年度】
～解説
(1)
曲線が絡む複合図形の面積を求めるときは、『曲線部分を最優先』に考えるのがポイントです。
曲線を含む図形の面積の公式は、「おうぎ形の面積の公式」しかないからです。
直線で出来ている図形の面積の公式はたくさんありますが、選択肢が多いということは、限定できないから迷うことになりますね。
本問でも、求める図形の中にある曲線がどんなおうぎ形から来ているのかを真っ先に確定させましょう。
おうぎ形の面積を求めるには、半径と中心角が必要なので、円の中心から補助線（上図の赤線）を引くのは当然ですね。
曲線部分を優先して考えると、斜線部分（上図の「あ」＋「い」＋「う」）の面積は、
おうぎ形「あ」＋三角形「い」＋おうぎ形「うえ」－三角形「え」
という方針で求めていけば良いと分かりますね。
ここで、２つのおうぎ形はともに、半径９ｃｍ、中心角３０°なので、その面積は、
９ｃｍ×９ｃｍ×３．１４×(３０°/３６０°)＝２１．１９５㎠
三角形「い」は、底辺を辺ＡＢとすると高さがＣＥの三角形です。
また、三角形「え」は、底辺を辺ＡＢとすると高さがＤＦの三角形です。
円内の対称性に着目すると、ＣＥ＝ＤＦなので、
三角形「い」の面積＝三角形「え」の面積
と分かります。
よって、求める斜線部分の面積は、
おうぎ形「あ」＋おうぎ形「うえ」＋三角形「い」－三角形「え」
＝おうぎ形「あ」＋おうぎ形「うえ」
＝２１．１９５㎠＋２１．１９５㎠
＝４２．３９㎠
(2)
同じ様に、まずは曲線部分がどのおうぎ形から来ているかを考えます。
斜線部分が含む弧ＣＤに関しては、おうぎ形ＡＣＤからしか求められないので、このおうぎ形は確定です。
あとは、帳じりを上手く合わせることを考えましょう。
斜線部分の面積＝おうぎ形ＡＣＤ＋三角形ＡＢＣ－三角形ＡＢＤ
とすれば求められますね。
おうぎ形ＡＣＤ＝９ｃｍ×９ｃｍ×３．１４×(６０°/３６０°)＝４２．３９㎠
次に、三角形の面積を考えましょう。
三角形ＡＢＣに関しては、
ＡＥ＝９ｃｍ
∠ＥＡＢ＝６０°
円内の対称性に着目して、
∠ＡＢＥ＝９０°
よって、『３０°-６０°-９０°の直角三角形の法則』から、
ＡＢ＝９ｃｍ÷２＝４．５ｃｍ
∠ＢＡＣ＝９０°
ＡＣ＝９ｃｍ
よって、
三角形ＡＢＣ＝４．５ｃｍ×９ｃｍ÷２＝２０．２５㎠
三角形ＡＢＤに関しては、底辺を辺ＡＢにすると、高さはＤＦの長さです。
ここで、三角形ＡＤＦも３０°-６０°-９０°の直角三角形なので、
ＡＤ＝９ｃｍから、ＤＦ＝９ｃｍ÷２＝４．５ｃｍ
よって、
三角形ＡＢＤ＝４．５ｃｍ×４．５ｃｍ÷２＝１０．１２５㎠
以上から、
斜線部分の面積＝４２．３９㎠＋２０．２５㎠ー１０．１２５㎠
＝５２．５１５㎠
(1)
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★☆☆☆】
(2)
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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