洛星中２０１９年（場合の数ー★★★☆☆☆）
【洛星中学 ２０１９年度】
～解説～
ビンゴの問題ですね。
１列が完成したら、そこでゲーム終了になることに注意しましょう。
これぐらいの大きさなら、難しく考えずに書き出してしまう方が良いでしょう。
(ア)
１～５の欄を埋めた時点では１列が完成しておらず、１～６の欄を埋めたら１列が完成したということは、下図の様に、２段目の列に完成したということですね。
よって、「４」「５」「６」の欄は「〇」と確定します。
後は、「１」「２」「３」の欄に、１段目の列が完成しないように「〇」と「×」を入れていけばＯＫです。
「１」「２」「３」の欄に入る「〇」の個数で場合分けをして考えましょう。
・「〇」が０個のとき
１通り
・「〇」が１個のとき
「１」「２」「３」のどこに「〇」を入れても、残り２つが「×」ならば条件を満たします。よって、３通り。
・「〇」が２個のとき
「１」「２」「３」のどこか２つに「〇」を入れても、残り１つが「×」ならば条件を満たします。よって、３通り。
・「〇」が３個のとき
「１」「２」「３」の３か所に「〇」を３つ入れると、１段目に列が完成してしまうので条件を満たしません。よって、０通り。
以上から、
１＋３＋３＋０＝７通り
※別解
「１」「２」「３」の３か所に「〇」か「×」を入れるとき、全パターンは、
２×２×２＝８通り
そのうち、「１」＝「〇」、「２」＝「〇」、「３」＝「〇」の１パターンのみ条件を満たさないので、
８－１＝７通り
(イ)
１～６の欄を埋めた時点では１列が完成しておらず、１～７の欄を埋めたら１列が完成したということは、下図の様に３パターンが考えられます。
右のパターンを見落とさないように注意しましょう。
(ア)と同様に、それぞれのパターンについて「〇」の個数で場合分けをして考えていきましょう。
まずは左のパターンについて、
・「〇」が０個のとき
１通り
・「〇」が１個のとき
「２」「３」「５」「６」のどこに「〇」を入れても条件を満たすので４通り。
・「〇」が２個のとき
列が完成しないように「〇」を２個入れるには、「２」「５」、「２」「６」、「３」「６」の３通り。
・「〇」が３個のとき
列が完成しないように「〇」を３個入れることはできないので０通り。
・「〇」が４個のとき
０通り
よって、左のパターンは、
１＋４＋３＋０＋０＝８通り
次に、真ん中のパターンについて、
・「〇」が０個のとき
１通り
・「〇」が１個のとき
「１」「２」「４」「６」のどこに「〇」を入れても条件を満たすので４通り。
・「〇」が２個のとき
列が完成しないように「〇」を２個入れるには、「１」「６」、「２」「４」、「２」「６」の３通り。
・「〇」が３個のとき
列が完成しないように「〇」を３個入れることはできないので０通り。
・「〇」が４個のとき
０通り
よって、左のパターンは、
１＋４＋３＋０＋０＝８通り
最期に、右のパターンについて、
・「〇」が０個のとき
１通り
・「〇」が１個のとき
「２」「６」のどちらに「〇」を入れても列が完成してしまうので０通り。
・「〇」が２個のとき
０通り。
よって、右のパターンは、
１＋０＋０＝１通り
以上から、
８＋８＋１＝１７通り
(1)
重要度【★★★★★☆】
難易度【★★☆☆☆☆】
(2)
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★☆☆☆】
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