神戸女学院中２０１８年（面積ー★★★★☆☆）
【神戸女学院中学 ２０１８年度】
～解説
(1)
曲線が絡む複合図形の面積を求めるときは、『曲線部分を最優先』に考えるのがポイントです。
曲線を含む図形の面積の公式は、「おうぎ形の面積の公式」しかないからです。
直線で出来ている図形の面積の公式はたくさんありますが、選択肢が多いということは、限定できないから迷うことになりますね。
本問でも、求める図形の中にある曲線がどんなおうぎ形から来ているのかを真っ先に確定させましょう。
おうぎ形の面積を求めるには、半径と中心角が必要なので、円の中心から補助線（上図の赤線）を引くのは当然ですね。
曲線部分を優先して考えると、斜線部分（上図の「あ」＋「い」＋「う」）の面積は、
おうぎ形「あ」＋三角形「い」＋おうぎ形「うえ」－三角形「え」
という方針で求めていけば良いと分かりますね。
ここで、２つのおうぎ形はともに、半径９ｃｍ、中心角３０°なので、その面積は、
９ｃｍ×９ｃｍ×３．１４×(３０°/３６０°)＝２１．１９５㎠
三角形「い」は、底辺を辺ＡＢとすると高さがＣＥの三角形です。
また、三角形「え」は、底辺を辺ＡＢとすると高さがＤＦの三角形です。
円内の対称性に着目すると、ＣＥ＝ＤＦなので、
三角形「い」の面積＝三角形「え」の面積
と分かります。
よって、求める斜線部分の面積は、
おうぎ形「あ」＋おうぎ形「うえ」＋三角形「い」－三角形「え」
＝おうぎ形「あ」＋おうぎ形「うえ」
＝２１．１９５㎠＋２１．１９５㎠
＝４２．３９㎠
(2)
同じ様に、まずは曲線部分がどのおうぎ形から来ているかを考えます。
斜線部分が含む弧ＣＤに関しては、おうぎ形ＡＣＤからしか求められないので、このおうぎ形は確定です。
あとは、帳じりを上手く合わせることを考えましょう。
斜線部分の面積＝おうぎ形ＡＣＤ＋三角形ＡＢＣ－三角形ＡＢＤ
とすれば求められますね。
おうぎ形ＡＣＤ＝９ｃｍ×９ｃｍ×３．１４×(６０°/３６０°)＝４２．３９㎠
次に、三角形の面積を考えましょう。
三角形ＡＢＣに関しては、
ＡＥ＝９ｃｍ
∠ＥＡＢ＝６０°
円内の対称性に着目して、
∠ＡＢＥ＝９０°
よって、『３０°-６０°-９０°の直角三角形の法則』から、
ＡＢ＝９ｃｍ÷２＝４．５ｃｍ
∠ＢＡＣ＝９０°
ＡＣ＝９ｃｍ
よって、
三角形ＡＢＣ＝４．５ｃｍ×９ｃｍ÷２＝２０．２５㎠
三角形ＡＢＤに関しては、底辺を辺ＡＢにすると、高さはＤＦの長さです。
ここで、三角形ＡＤＦも３０°-６０°-９０°の直角三角形なので、
ＡＤ＝９ｃｍから、ＤＦ＝９ｃｍ÷２＝４．５ｃｍ
よって、
三角形ＡＢＤ＝４．５ｃｍ×４．５ｃｍ÷２＝１０．１２５㎠
以上から、
斜線部分の面積＝４２．３９㎠＋２０．２５㎠ー１０．１２５㎠
＝５２．５１５㎠
(1)
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★☆☆☆】
(2)
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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