灘中２０１９年（面積比ー★★★★★☆）
【灘中学 ２０１９年度 １日目】
～概要～
2019年の灘中の算数は史上最高レベルの難しさでした。
特に１日目は、合格者平均点が５０点/１００点満点という最狂レベルです。
本問は、解けないと合格できないという正解必須問題ではありませんが、手が出せない、捨てるべき問題とまではいきません。合否を分ける問題にもなり得るでしょう。
～解説～
まずは与えられた条件を図の中に書き込みましょう。
問われているのは△CAPの面積ですが、三角形の面積の公式（底辺×高さ÷２）を使って求めるのはどう見ても不可能ですね。「辺の長さが２倍」という条件からも、『面積比』で解くということはすぐに分るでしょう。
ところが、面積比の基本である「相似な三角形」も「等高三角形」も見当たらないのがこの問題のやや難しいところですね。
そこで、まずは「∠APB＝１２０°」という意味深な条件について考えてみましょう。
ここから分かることは、三角形の内角の和が１８０°であることから
∠PAB＋∠PBA＝６０°
ということですね。ここで、
「△ABCが正三角形」⇒「∠BAC=６０°、∠ABC＝６０°」
が活きてきます。つまり、適当に、
∠PAB＝✖°、∠PBA＝〇°
とおいておくと、
∠PAC＝〇°、∠PBC＝✖°
になりますね。
次は「PB=２×PA」についてですね。
ここからは少しひらめきが必要になってきますが、（同じ長さの辺を作るために）PBの中点Qを取ってみましょう。
すると、△CAPと合同である△ABQが発見できますね。
よって、△CAP＝<１>㎠とおくと、△ABQ＝<１>㎠となります。
また、△ABQと△AQPはBPを底辺とみると等高三角形なので、その面積比は底辺の長さ比と同じになりますね。よって、△AQP＝<１>㎠となります。
同様に、△ABPと△BCQも合同です。
よって、△ABP＝<２>㎠なので、△BCQ＝<２>㎠となります。
また、△BCQと△QCPも等高三角形なので△QCP＝<２>㎠となります。
以上から、
△ABC＝<７>㎠＝１㎠
となるので、
△CAP＝<１>㎠＝１/７㎠
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★★☆】
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