洛南高附中２０２０年（平面図形ー★★★★☆☆）
【洛南高等学校附属中学 ２０２０年度】
～概要～
本年の洛南中は、かなり易しかったですね。
算数だけでなく、国語も難易度が下がっており、 合格最低点はここ１０年間で２番目に高くなりました。
合格には、男子は１００点/１５０点満点、女子は１１５点/１５０点満点が最低限のノルマでしょう。
本問は、男子にとっては合否を分け得る問題、女子にとっては落とせない問題です。
～解説～
『「あ」と「い」の面積が等しい』というフレーズを見ただけで解法が思い浮かぶようにしておきたいですね。
謎の三角形である「あ」の面積も、謎の四角形である「い」の面積も求めようがありません。
こういうときは、近くの適当な場所の面積をそれぞれに付け足して考えます。
つまり、「あ」＝「い」なので、
「あ」＋「☆」＝「い」＋「☆」
になることがポイントです。
それでは、△ＡＢＣの面積＝△ＥＢＤの面積になるような点Ｅを考えましょう。
半円の半径を②ｃｍとしましょう。
△ＡＢＣは、∠ＡＣＢ＝９０°の直角二等辺三角形です。
よって、その面積は、辺ＢＣを底辺とすると高さはＡＣになるので、
△ＡＢＣ＝②ｃｍ×②ｃｍ÷２
となります。
△ＥＢＤは、辺ＢＤを底辺とすると、その長さは④ｃｍです。
よって、その面積は、
△ＥＢＤ＝④ｃｍ×高さ÷２
となります。
△ＡＢＣ＝△ＥＢＤになるので、△ＥＢＤの高さは①ｃｍであると分かります。
ここで、補助線ＣＥを引いてみましょう。
辺ＣＥは半円の半径なので、ＣＥ＝②ｃｍです。
このとき、△ＣＥＧは、ＣＥ：ＥＧ＝２：１で∠ＣＧＥ＝９０°なので、
∠ＥＣＧ＝３０°
となります。
この、『３０°-６０°-９０°の直角三角形の性質』は中学受験算数の超重要事項です。
あとは、角度の問題です。
∠ＢＣＥ＝１８０°ー３０°＝１５０°
△ＢＣＥは、ＢＣ＝ＥＣの二等辺三角形なので、
∠ＢＥＣ＝（１８０°ー１５０°）÷２＝１５°
∠ＦＣＥ＝９０°ー３０°＝６０°
∠ＡＦＥ＝６０°＋１５°＝７５°
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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