大阪星光中２０１１年（点の移動ー★★★★☆☆）
【大阪星光学院中学 ２０１１年度】
～解説～
円周上を動く速さの問題では、『角速度』という考え方を使うと解きやすくなります。
通常の速さは、「ｋｍ/時」（＝１時間当たりに何ｋｍ進む）や「ｍ/秒」の様に、「ある一定の時間にどれだけの距離を進むか」を表します。
一方、角速度は、「°/秒」の様に、「ある一定の時間に中心角が何度分、円周上を動くか」を表します。
まずは、PとQの角速度を求めてみましょう。
Pは１周するのに２０秒かかります。
１周の中心角は、当然３６０°です。
よって、１秒当たりに進むのは、
３６０°÷２０秒＝１８°/秒 （時計回りの向きに）
同様に、Qは、
３６０°÷３０秒＝１２°/秒 （反時計回りの向きに）
（１）
５秒間に進む中心角は、
P→１８°/秒×５秒＝９０°
Q→１２°/秒×５秒＝６０°
PとQは進む向きが逆向きなので、５秒後には、
９０°＋６０°＝１５０°
離れています。
ここからは、平面図形の面積の問題ですね。
△OPQは、OPを底辺とすると、高さはQからOPに垂直に降ろした線AQの長さですね。
ここで、△AOQは、「３０°-６０°-９０°」の直角三角形なので、
辺AQ：辺OQ＝１：２
よって、AQ＝３ｃｍ
△OPQ＝６ｃｍ×３ｃｍ÷２＝９㎠
（２）
（１）と同じ様に、OPを底辺としましょう。
すると、底辺の長さは常に６ｃｍですね。
よって、△OPQの面積が最も大きくなるのは高さが最も大きくなるときです。
Qが円周上を動くとき、高さが最も大きくなるのは、上図のように∠POQ＝９０°になるときです。
このときの面積は、
６ｃｍ×６ｃｍ÷２＝１８㎠
（３）
２秒間に進む中心角は、
P→１８°/秒×２秒＝３６°
Q→１２°/秒×２秒＝２４°
PとQは、進む向きが逆向きなので、２秒後には、
３６°＋２４°＝６０°
離れています。
よって、２秒後には上図のように△OPQは正三角形になっています。
（１）と同じように、OPを底辺としましょう。
すると、底辺の長さは常に６ｃｍなので、△OPQの面積が同じになるときは高さも同じになるときですね。
２秒後の△OPQ（青色）と高さが同じになるのは、左右の対称性や上下の対称性を考えると上図のQ1～Q3に来たときと分かります。
それぞれの位置まで来るのにかかる時間は、
Q1：１２０°÷（１８°/秒＋１２°/秒）＝４秒
Q2：２４０°÷（１８°/秒＋１２°/秒）＝８秒
Q3：３００°÷（１８°/秒＋１２°/秒）＝１０秒
２０秒間進むので、２周目以降も考えなければならないことに注意しましょう。
２周目のQ：（３６０°＋６０°）÷（１８°/秒＋１２°/秒）＝１４秒
２周目のQ1：（３６０°＋１２０°）÷（１８°/秒＋１２°/秒）＝１６秒
２周目のQ２：（３６０°＋２４０°）÷（１８°/秒＋１２°/秒）＝２０秒
ここまでですね。
よって、４秒、８秒、１０秒、１４秒、１６秒、２０秒
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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