大阪星光中２０２０年（点の移動ー★★★★☆☆）
【大阪星光学院中学 ２０２０年度】
～概要～
本年の星光は、難問もいくつか出されていました。
ただし、全体的な難易度としては例年通りと言えますので、捨て問に騙されなければ、対策としては今まで通りで大丈夫でしょう。
～解説～
(1)
Ａ、Ｏ、Ｂが一直線に並ぶのは、下図の様な状態です。
Ａが動いた距離とＢが動いた距離の和が半周分になれば良いですね。
７２０ｃｍ÷２＝３６０ｃｍ
３６０ｃｍ÷（４０ｃｍ/秒＋３０ｃｍ/秒）＝３６/７秒後
(2)
Ａが初めて点Ｐに戻ってくるのは、
７２０ｃｍ÷４０ｃｍ/秒＝１８秒後
よって、Ａは点Ｐに１８秒ごとに戻ってきます。
同様に、Ｂが初めて点Ｐに戻ってくるのは、
７２０ｃｍ÷３０ｃｍ/秒＝２４秒後
よって、Ｂは点Ｐに２４秒ごとに戻ってきます。
ＡとＢが初めて同時に点Ｐに戻ってくるのは、１８秒と２４秒の最小公倍数である７２秒後ですね。
(3)
△ＰＡＢが二等辺三角形になるのは、下図の２パターンです。
ＡとＢの速さが異なるので、１周以内では、ＰＡ＝ＰＢの二等辺三角形になることはありません。
ＡとＢの速さの比は、
４０ｃｍ/秒：３０ｃｍ/秒＝４：３
同じ時間にＡとＢが進む距離の比は、速さの比と同じになるので、
曲線ＰＡの長さ：曲線ＰＢの長さ＝４：３
よって、曲線ＰＡ＝④ｃｍ、曲線ＰＢ＝③ｃｍとおける。
上図の左のパターンでは、
曲線ＰＡ＝曲線ＡＢ＝④ｃｍなので、
１周の長さは、④ｃｍ＋④ｃｍ＋③ｃｍ＝⑪ｃｍ
⑪ｃｍ＝７２０ｃｍ
①ｃｍ＝７２０/１１ｃｍ
④ｃｍ＝２８８０/１１ｃｍ
よって、この状態になるのは、
２８８０/１１ｃｍ÷４０ｃｍ/秒＝７２/１１秒後
上図の右のパターンでは、
曲線ＰＢ＝曲線ＡＢ＝③ｃｍなので、
１周の長さは、④ｃｍ＋③ｃｍ＋③ｃｍ＝⑩ｃｍ
⑩ｃｍ＝７２０ｃｍ
①ｃｍ＝７２ｃｍ
④ｃｍ＝２８８ｃｍ
よって、この状態になるのは、
２８８ｃｍ÷４０ｃｍ/秒＝７．２秒後
７２/１１秒後、７．２秒後
(1)(2)
重要度【★★★★★★】
難易度【★★☆☆☆☆】
(3)
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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