甲陽学院中２０２０年（数の性質ー★★★☆☆☆）
【甲陽学院中学 ２０２０年度 第二日】
～概要～
本年の甲陽は、例年通りの難易度でした。
本問は、受験算数の基本問題です。
最難関校志望なら、確実に合わせられないといけない問題です。
～解説～
(1)
例えば、３６は３で何回割り切れるかを考えてみましょう。
３６÷３＝１２
１２÷３＝４
４÷３＝１．３３３・・・
となるので、２回ですね。
これは、『素因数分解』を使って求めることができます。
３６を素因数分解すると、
３６＝２×２×３×３
となり、「３」を「２個」含んでいることが分かりますね。
よって、３で２回割り切れるということです。
では、１から２７までの積には３が何個含まれているでしょうか。
３の倍数には１個ずつ、９（＝３×３）の倍数には２個ずつ、２７（＝３×３×３）の倍数には３個ずつ含まれているので、それぞれの倍数の個数から求めることができます。
３の倍数：２７÷３＝９個 ・・・〇の個数
９の倍数：２７÷９＝３個 ・・・〇の個数
２７の倍数：２７÷２７＝１個 ・・・〇の個数
９個＋３個＋１個＝１３個
よって、１３回
(2)
これは、適当に色々な数字で試してみて見つけるだけの計算問題です。
(1)で、Ｎ＝２７のときに１３個だったことから、だいたい半分ぐらいかと予想してＮ＝２３０から試してみましょう。
２３０÷３＝７６個・・・２
２３０÷９＝２５個・・・５
２３０÷２７＝８個・・・１４
２３０÷８１＝２個・・・６８
よって、７６個＋２５個＋８個＋２個＝１１１個
思いのほか、いい線いっていましたね。
あとは、微調整するだけです。
１１５個ー１１１個＝４個
なので、あと４個の「３」が必要です。
２３１は３の倍数なので１個、２３４は９の倍数なので２個、２３７は３の倍数なので１個、３を含んでいます。
よって、Ｎ＝２３７のとき、「３」が１１５個含まれているので、３で１１５回割り切れることになります。
２３７の次の３の倍数である２４０までＮを増やすと、「３」の個数が１１５個を超えてしまいますね。
しかし、２３９までなら３の倍数は変わらないので増やしても大丈夫です。
よって、２３７，２３８，２３９
重要度【★★★★★☆】
難易度【★★★☆☆☆】
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