四天王寺中２０１７年（立体図形ー★★★☆☆☆）
【四天王寺中学 ２０１７年度】
～概要～
２０１７年の四天王寺中の算数は過去最高の難易度でした。とはいえ、事前に学校側から難化を予告されていたので、それを知っていた子は動揺はしなかったでしょう。
本問は、そう難しいわけではありませんが、合わせにくい問題でもあり、正答率は１０％とかなり低くなっています。
～解説～
問われているのは「５面の和」なので、まずはそこに引っかからない様に気を付けないといけません。
また、普通、直方体の体積などを求めるときは、どこが「たて」でどこが「横」でどこが「高さ」かは意識する必要はありませんね。
しかし、本問では見えている５面のみを考えないといけないので、これらの名称もきちんと押さえておかないといけません。
こういった、細かい点が原因で、実際の問題の難しさ以上に正答率が低くなってしまったのでしょう。
さて、数の和を小さくするには全ての面を１にしてしまえば手っ取り早いですが、そう簡単にはいきませんね。
例えば、上図の立方体Ｃは、１面しか見えていません。
よって、この立方体は見えている面の数の和を小さくするために、１が見える様に置けるということです。
しかし、上図の立方体Ａは、３面が見えています。
この３面を全て１にするわけにはいきません。
問題の条件から、どんな向きに置いても１と２と３が１つずつ見えることになります。
つまり、見えている立方体をパターンごとに分類して、その個数を求めれば良いということですね。
・３面が見えている立方体
上図の立方体Ａのパターンです。
図から分かるように、作った直方体の角にきている立方体がこれにあたります。
ただし、見えている５面しか考えない（⇒底面は考えない）ので、立方体Ｅは２面しか見えていないことに注意しましょう。
よって、このパターンの立方体は、上面の角の４個だけですね。
見えている数は、１と２と３になるので、全部の和は、
（１＋２＋３）×４個＝２４
・２面が見えている立方体
上図の立方体Ｂのパターンと、立方体Ｅのパターンです。
上で考えた様に、立方体Ｅのパターンは、底面の角の４個です。
立方体Ｂのパターンは、作った直方体の辺にきているものです。その個数は、
（６－２）×２＋（７－２）×２＋（５－２）×４＝３０個
よって、全部で、
４個＋３０個＝３４個
見えている数が、１と２になるように置けば良いので、全部の和は
（１＋２）×３４個＝１０２
・１面が見えている立方体
上図の立方体Ｃのパターンと、立方体Ｄのパターンです。
立方体Ｃのパターンは、作った直方体の各面の真ん中にきているものです。その個数は、
（７－２）×（６－２）＋（５－２）×（６－２）×２＋（５－２）×（７－２）×２＝７４個
立方体Ｄのパターンは、底面の辺にきているものです。その個数は、
（６－２）×２＋（７－２）×２＝１８個
よって、全部で、
７４個＋１８個＝９２個
見えている数が１になるように置けばよいので、全部の和は、
１×９２個＝９２
以上から、
２４＋１０２＋９２＝２１８
重要度【★★★★★☆】
難易度【★★★☆☆☆】
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