大阪星光中２０１２年（面積ー★★★☆☆☆）
【大阪星光学院中学 ２０１２年度】
～解説～
曲線の絡む複合図形の面積を求める問題では、真っ先に曲線部分について考えるのがポイントです。
曲線部分を含む面積の公式は、円（おうぎ形）の面積の公式しか存在しないからですね。
他に選択肢が無いということは、そこが突破口になるということです。
本問では３つの部分の面積の合計を問われています。
まずは各部分を分析してみましょう。
・赤色の部分
曲線ＣＤは、おうぎ形ＯＣＤからきています。よって、
[赤色の部分の面積]＝[おうぎ形ＯＣＤ]ー[三角形ＯＣＤ]
で求めるしかありません。
おうぎ形ＯＣＤは、半径６ｃｍ、中心角６０°と分かっているので求めることができますね。
三角形ＯＣＤは、ＯＣ＝ＯＤ＝６ｃｍ、∠ＣＯＤ＝６０°と分かっているので、一辺６ｃｍの正三角形です。
しかし、正三角形の面積は小学生には求めることができません。
よって、赤色の部分はいったんおいておきましょう。
「求めることが出来ない」ということを知っておくことも役に立つということですね。
・緑色の部分
曲線ＧＨは、おうぎ形ＯＧＨからきています。よって、
[緑色の部分の面積]＝[おうぎ形ＯＧＨ]ー[三角形ＯＧＨ]
で求めるしかありません。
おうぎ形ＯＧＨは、半径６ｃｍ、中心角９０°と分かっているので求めることができますね。
三角形ＯＧＨは、ＯＧ＝ＯＨ＝６ｃｍ、∠ＧＯＨ＝９０°の直角二等辺三角形なので求めることができますね。
よって、緑色の部分はこのままで求めることが可能です。
６ｃｍ×６ｃｍ×３．１４×（９０°/３６０°）－６ｃｍ×６ｃｍ÷２
＝１０．２６㎠
・青色の部分
この部分が難しく感じるかもしれませんが、曲線部分を優先的に考える、というコツを知っていれば大したことはありません。
曲線ＡＥはおうぎ形ＯＡＥから、曲線ＢＦはおうぎ形ＯＢＦからきています。よって、
[青色の部分の面積]＝[おうぎ形ＯＡＥ]＋[おうぎ形ＯＢＦ]＋[三角形ＯＥＦ]
で求めるしかありません。
おうぎ形ＯＡＥとおうぎ形ＯＢＦは、半径は６ｃｍと分かっていますが、中心角は分かりません。
しかし、ＡＢは直径で、∠ＥＯＦ＝１２０°なので、
∠ＡＯＥ＋∠ＢＯＦ＝１８０°ー１２０°＝６０°
よって、おうぎ形ＯＡＥとおうぎ形ＯＢＦは、それぞれの面積を求めることはできませんが、２つを合わせると、半径６ｃｍ、中心角６０°のおうぎ形になるので求めることができますね。
三角形ＯＥＦは簡単には求められそうにありませんので、いったんおいておきましょう。
ここまでをまとめると、
[緑色の部分の面積]＝１０．２６㎠
[赤色の部分の面積]＝[おうぎ形ＯＣＤ]ー[三角形ＯＣＤ]
＝６ｃｍ×６ｃｍ×３．１４×（６０°/３６０°）ー[三角形ＯＣＤ]
＝１８．８４㎠ー[三角形ＯＣＤ]
[青色の部分の面積]＝[おうぎ形ＯＡＥ]＋[おうぎ形ＯＢＦ]＋[三角形ＯＥＦ]
＝６ｃｍ×６ｃｍ×３．１４×（６０°/３６０°）＋[三角形ＯＥＦ]
＝１８．８４㎠＋[三角形ＯＥＦ]
ここで、三角形ＯＥＦについて考えてみましょう。
三角形ＯＥＦは、 ＯＥ＝ＯＦ＝６ｃｍ、∠ＥＯＦ＝１２０°の二等辺三角形です。
この三角形ＯＥＦを、ＥＦの中点をＰとして、ＯＰで切ると、２つの合同な直角三角形ができますね。
図の様に、三角形ＯＰＦを三角形ＱＰＥに移動させると三角形ＯＥＱが出来ます。
この三角形ＯＥＱは、一辺が６ｃｍの正三角形です。
よって、
[三角形ＯＥＦの面積]＝[三角形ＯＣＤの面積]
となります。
以上から、求める斜線部分の面積は、
[緑色の部分の面積]＋[赤色の部分の面積]＋[青色の部分の面積]
＝１０．２６㎠＋１８．８４㎠ー[三角形ＯＣＤ]＋１８．８４㎠＋[三角形ＯＥＦ]
＝４７．９４㎠
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★☆☆☆】
 |
|
 |
|
 |
|
