海陽中２０１８年（角度ー★★★★★☆）
【海陽中等教育学校 ２０１８年度 特別給費生入試】
～解説～
どこから手を付ければ良いのかもよく分からない難問ですね。
角度の問題なので、とりあえず
∠BAD＝△°
とおいてみましょう。
∠ADBは、外角定理から、
∠ADB＝∠DAC＋∠DCA＝×°＋〇°
と表せるので、新たな記号は不要です。
１８０°を◯°と×°を用いて表せというのが本問ですが、１８０°と言えば三角形の内角の和ですね。
そこで、△ABCに着目すると、その内角の和は、
９０°＋〇°＋△×°＝１８０°
よって、
〇°＋×°＋△°＝９０°
これを２倍すると、
〇°＋〇°＋×°＋×°＋△°＋△°＝１８０°
となります。
つまり、この問題は△°を◯°と×°を用いて表せという問題であるということですね。
このままでは手も足も出ないので、何らかの補助線が必要だということは分かるでしょう。
こういうときは、相似がポイントになることがほとんどです。
角度と相似は切っても切れない関係ですからね。
本問では、辺の長さが３：４：５で角度が９０°-〇°-△×°の直角三角形と、辺の長さが１：３：？で角度が９０°-△°-〇×°の直角三角形が見当たります。
これを利用して、色々な補助線を引いてみましょう。
（※もちろん、実戦（＝入試本番や模試）ではこの手のひらめき頼みのパズル問題に時間を割くのはご法度です。早めに見切って、いったん他の問題を解き終わってから戻ってきましょう。）
上図は、△ABDと相似になるような△EBAを作った図です。
AB：BD＝EB：BA＝３：１より、BE＝１８ｃｍ
∠BEA＝△°
∠BAE＝〇×°
になりますね。
ここで、
CE＝１８ｃｍ－（２ｃｍ＋６ｃｍ）＝１０ｃｍ
なので、△ACEは、AC＝ECの二等辺三角形になっています。
よって、∠CAE＝∠CEA＝△°
外角定理から、
∠ACB＝∠CAE＋∠CEAなので、
〇°＝△°＋△°
と分かりました。
よって、最初に求めた、〇°＋〇°＋×°＋×°＋△°＋△°＝１８０°から、
〇°＋〇°＋×°＋×°＋〇°＝１８０°
となるので、「〇°が３個、×°が２個を集めると、合わせて１８０度になる。」
重要度【★★☆☆☆☆】
難易度【★★★★★☆】
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