清風中２０１９年（場合の数ー★★☆☆☆☆）
【清風中学 ２０１９年度 前期プレミアム・理Ⅲ選抜試験】
～解説～
（１）
ボードの数が１→・・・→３０となったので、増えた数（＝さいころの目の合計）は、３０－１＝２９であることに注意しましょう。
目の合計が２９と決まっているので、ふった回数が多いということは小さな目が出たということですね。
最も多くなるのは１ばかりが出たときで、１が２９回出たときです。
また、回数が少ないということは大きな目が出たときです。
さいころの目は１～６なので、最も少なくなるのは６ができるだけたくさん出たときで、
２９÷６＝４・・・５
から、６が４回と５が１回出たときで、合計は５回です。
（２）
１→▢→▢→１６
３回の目の合計が１５ということですね。
１～６の整数を３つ足して１５になるパターンを全て書き出しましょう。
（※書き出すときは、思いついたものから適当に書き出すのは厳禁です。自分なりのルールを作って、その規則通りに書き出していきましょう。）
・３＋６＋６
・４＋５＋６
・５＋５＋５
の３パターンしかありません。
①一度も出ていない目は、１と２です。
②上の３パターンについて、どの順番で出たかを考えましょう。
・３＋６＋６のとき
３-６-６、６-３-６、６-６-３の３通り
・４＋５＋６のとき
４-５-６、４-６-５、５-４-６、５-６-４、６-４-５、６-５-４の６通り
・５＋５＋５のとき
５-５-５の１通り
よって、全部で
３＋６＋１＝１０通り
（３）
１→・・・→４０００
１０００回の目の合計が３９９９ということですね。
５００回ふった後のボードの数が大きいということは、１～５００回の目の合計が大きく５０１～１０００回の目の合計が小さいということです。
前半の５００回が全て６というのが理想的ですね。
このとき、
３９９９－６×５００＝９９９
なので、後半の５００回の目の合計が９９９になればよくこれは実現可能です。
よって、最も大きなボードの数は、
１＋６×５００＝３００１
５００回ふった後のボードの数が小さいということは、１～５００回の目の合計が小さく５０１～１０００回の目の合計が大きいということです。
前半の５００回全てが１というのが理想的ですね。
このとき、
３９９９－１×５００＝３４９９
なので、後半の５００回の目の合計が３４９９になります。
しかし、さいころの目は１～６なので、後半の５００回の目の合計は最大でも６×５００＝３０００にしかなりません。
よって、この理想は実現不可能ということに注意しましょう。
前半の５００回が最も小さくなり得るのは、後半の５００回が最大になるときです。
つまり、後半の５００回全てが６のときですね。
このとき、
３９９９－６×５００＝９９９
なので、前半の合計は９９９になります。
よって、最も小さなボードの数は、
１＋９９９＝１０００
重要度【★★★★★★】
難易度【★★☆☆☆☆】
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