大阪桐蔭中２０１９年（規則性ー★★☆☆☆☆）
【大阪桐蔭中学 ２０１９年度 前期】
～解説～
まずは、どのような規則なのかを見つけられるかがキーですね。
よく見かける規則ですし、初見であっても「１」に着目すればそう苦労せずに見つかるでしょう。
１｜１，２｜１，２，３｜１，２，３，４｜１，２，３，４，５｜・・・
という、規則の固まり（セット）からできている『群数列』ですね。
群数列は、下記の様に、セットごとに段を変えて書き直すのがコツです。
① １
② １，２
③ １，２，３
④ １，２，３，４
⑤ １，２，３，４，５
： ： ： ： ： ：
この様に表すことで、▢セット目は１～▢の▢個の整数からできている、ということが一目で分かりますね。
(1)
３０セット目までに３１が現れることはありません。
初めて３１が現れるのは、３１セット目の３１個目です。
１セット目から３０セット目に含まれる数の個数は、
（１＋３０）×３０÷２＝４６５個
よって、３１セット目の３１個までには、
４６５個＋３１個＝４９６個
の数があるので、４９６番目
(2)
何セット目までで２０１９個近くの数が出てくるかを考えます。
（１＋▢）×▢÷２＝２０１９
の▢に色々な数をあてはめてみましょう。 すると、
（１＋６３）×６３÷２＝２０１６
（１＋６４）×６４÷２＝２０８０
となるので、２０１９番目の数は６４セット目にあると分かります。
また、
２０１９－２０１６＝３
から、２０１９番目の数は、６４セット目の３個目の数字と分かります。
各セットは、１，２，３・・・となっているので、３
(3)
例えば、１２３４５０００００は０が一の位から５個並んでいます。
これは、１２３４５０００００は１０で５回割り切れる（６回は割り切れない）ということです。
ある数が１０で何回割り切れるかを求めるには、１０＝２×５なので、ある数を素因数分解したときに２と５がいくつ含まれているかを求めればよいですね。
２０１９番目までに、５の倍数がいくつあるのかを考えましょう。
１セット目～４セット目は０個です。
５セット目～９セット目には、５があるので１個ずつです。
１０セット目～１４セット目には、５と１０があるので２個ずつです。
同様に考えていきますが、
２５セット目～２９セット目には、５，１０，１５，２０，２５がありますが、２５＝５×５なので２５は５が２個分であることに注意しましょう。よって、６個ずつです。
３０セット目～３４セット目には、５，１０，１５，２０，２５，３０があるので７個ずつです。
以下、６３セット目までも同様に考えると、
０個×４セット＋１個×５セット＋２個×５セット＋３個×５セット＋４個×５セット＋６個×５セット＋７個×５セット＋８個×５セット＋９個×５セット＋１０個×５セット＋１２個×５セット＋１３個×５セット＋１４個×４セット＝４３１個
６４セット目は３個目までなので０個です。
よって、２０１９番目までの整数をかけてできる数には５が４３１個含まれています。
本来は、２が何個含まれているかもチェックする必要がありますが、この数列では明らかに２の倍数より５の倍数の方が少ないので、５の個数＝１０の個数となります。
よって、２０１９番目までの整数をかけてできる数には１０が４３１個含まれているので、この数は１０で４３１回割り切れます。
以上から、この数の一の位から並ぶ０の個数は４３１個
(1)
重要度【★★★★★★】
難易度【★★☆☆☆☆】
(2)
重要度【★★★★★★】
難易度【★★☆☆☆☆】
(3)
重要度【★★★★★★】
難易度【★★★☆☆☆】
 |
|
 |
|
