手塚山中２０２０年（立体図形ー★★★☆☆☆）
【帝塚山中学 ２０２０年度 ２次Ａ】
～解説～
(1)
動かしているのは円すい（立体）ですが、問われているのはその底面である円（平面）に関してのみなので、立体全体を考える必要はありません。
円Ｏの動きだけを見ればよいので、真上から見た平面図で考えましょう。
まずは、移動後の状態を描きましょう。
移動後の円の中心Ｏ’は移動前の円の点Ｃにあり、半径は変わらず１ｃｍなので、移動後の円は上図の青線になります。
その後、ポイントとなる点がどのように移動したかをイメージしましょう。
作図が完成すれば、あとは普通の面積を求める問題です。
この形は、上図の様に半円と長方形と半円に分けられますね。
よって、その面積は、
１ｃｍ×１ｃｍ×３．１４÷２×２＝３．１４㎠
２ｃｍ×１ｃｍ＝２㎠
３．１４㎠＋２㎠＝５．１４㎠
(2)
本問も、円すい全体を見る必要はありません。
問われているのは点Ｍの動きのみなので、「点Ｍを直線ＡＯを軸として回転させた」と読み替えましょう。
１回転させるので、点Ｍは円を作ります。
その円の中心は、点Ｍから見て直線ＡＯ上の最も近い点になります。
よって、上図の様に、ＡＯとＭＦが直角に交わるような点Ｆが中心です。
△ＡＢＯと△ＡＭＦは相似なので、
ＡＭ：ＡＢ＝１：２
から、
ＭＦ：ＢＯ＝１：２
ＢＯ＝１ｃｍなので、
ＭＦ＝１ｃｍ÷２＝０．５ｃｍ
点Ｍは、点Ｆを中心とした、半径０．５ｃｍの円周上を通過するので、その長さは、
０．５ｃｍ×２×３．１４＝３．１４ｃｍ
(3)
円すいの側面上の最短距離の問題は、展開図で考えるのが鉄則です。
展開図を描くためには、まずは側面を展開してできるおうぎ形の中心角を求めておかなければなりませんね。
底面の円の周りの長さは、
１ｃｍ×２×３．１４＝６．２８ｃｍ
側面のおうぎ形の半径は６ｃｍで、弧の長さが６．２８ｃｍになるので、
６ｃｍ×２×３．１４×▢＝６．２８ｃｍ
▢＝１/６＝６０/３６０
よって、中心角は６０°です。
※難関校を目指す子は、以下の解法も習得しておきましょう。
底面の円の半径：側面のおうぎ形の半径＝１ｃｍ：６ｃｍ＝１：６
中心角の大きさの比は半径の長さ比の逆比になるので、
底面のおうぎ形（円）の中心角：側面のおうぎ形の中心角＝３６０°：▢°＝６：１
▢＝６０
点Ｍから円すいの側面を１周して点Ｍに帰ってくる線は、上の展開図上では点Ｍと点Ｍ’を結ぶ線です。
この線の長さが最短になるのは、上図の赤線の様に、点Ｍと点Ｍ’を直線で結んだときです。
ここで、△ＡＭＭ’は、ＡＭ＝ＡＭ’と∠Ａ＝６０°から正三角形と分かります。
よって、ＭＭ’＝３ｃｍ
(2)で求めた線の長さとの差は、
３．１４ｃｍ－３ｃｍ＝０．１４ｃｍ
(1)
重要度【★★★★★★】
難易度【★★☆☆☆☆】
(2)
重要度【★★★★★☆】
難易度【★★☆☆☆☆】
(3)
重要度【★★★★★☆】
難易度【★★★☆☆☆】
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