洛南高附中２０１２年（面積比ー★★★★☆☆）
【洛南高等学校附属中学 ２０１２年度】
～概要～
洛南中のお家芸、「正六角形」内の「相似・面積比」の問題です。
難易度としては、洛南の面積比にしては解きやすく、練習問題にも適した良問と言えるでしょう。
～解説～
（１）
ILの長さが必要であることはすぐに分かりますね。そこで、ILの絡む相似を見つける（補助線を引いて作る）のが第一歩になります。
正六角形が２つ並んだこの形の中には、たくさんの平行線があるので相似も作りやすいですが、真っ先に浮かぶ補助線はAGでしょう。
これで、△GILと△GAKの相似（ピラミッド型、山型などと呼ばれます）が出来ました。
AI＝IGなので、相似比は、
△GIL：△GAK＝１：２
よって、IL：AK＝１：２から、
IL＝③cm
と求められます。
四角形ILGHの面積は、△GHIと△GILに分割して求めて足し合わせるのが良いでしょう。
△GHI＝[正六角形全体]×１/６（⇐これは受験算数としては暗記項目です。）
△GID＝[正六角形全体]×１/３（⇐これも受験算数としては暗記項目です。）なので、
△GIL＝[正六角形全体]×１/３×３/１０＝[正六角形全体]×１/１０
よって、
四角形ILGH＝[正六角形全体]×１/６＋[正六角形全体]×１/１０
＝[正六角形全体]×４/１５
４：１５
（２）
（１）で使った補助線AGは（２）でも有効です。
AGとKOの交点をPとすると、△PIMと△PAKの相似、△PIMと△PGOの相似（ちょうちょ型、蝶ネクタイ型などと呼ばれます）が見つかりますね。
まずは、△PIMと△PAKの相似に着目しましょう。
IM：AK=②：⑥＝１：３
よって、
△PIM：△PAK＝１：３
PI：PA＝１：３
となるので、PI＝<1>cm、AI＝<２>cmとおけますね。
ここで、AI＝IGなのでIG＝<２>cm。
よって、PG＝<１>cmとなります。
今度は△PIMと△PGOの相似です。
PI：PG＝<１>：<１>＝１：１なので、
△PIM：△PGO＝IM：GO＝１：１
よって、GO＝②cmと求められます。
GFは正六角形の一辺なのでGF=⑩cm。
OG：GF＝②：⑩＝１：５
問われているHN：NGが絡む相似を作る補助線としては、OFと平行であるHEがベストでしょう。点PはIGの中点なので、このHEは点Pを通ります。
よって、△HPNと△GONの相似が見つかりますね。
HP＝⑤cm（⇐これも暗記項目。）なので、
△HPN：△GON＝HP：GO＝⑤：②＝５：２
よって、
HN：NG＝５：２
四角形IMNHの面積の求め方も色々考えられますが、思い浮かびやすいのは、
四角形IMNH＝△HIG－△NPG＋△IMP
という作戦でしょうか。
△HIG＝[正六角形全体]×１/６
△NPG＝△HPG×NG/HG＝△HPG×２/７
△HPG＝△HIG×PG/IG＝△HIG×１/２＝[正六角形全体]×１/６×１/２
＝[正六角形全体]×１/１２
よって、
△NPG＝[正六角形全体]×１/１２×２/７＝[正六角形全体]×１/４２
△IMP＝△IDG×IM/ID×IP/IG＝△IDG×２/１０×１/２＝△IDG×１/１０
△IDG＝[正六角形全体]×１/３ なので、
△IMP＝[正六角形全体]×１/３×１/１０＝[正六角形全体]×１/３０
以上から、
四角形IMNH＝[正六角形全体]×１/６－[正六角形全体]×１/４２＋[正六角形全体]×１/３０
＝[正六角形全体]×３７/２１０
３７：２１０
※最後の面積比の処理の仕方はやや高度な解法を使っています。しかし、最難関校の面積比を解けるようにしておくためにはぜひマスターしておくべき解法です。
（１）
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★☆☆☆】
（２）
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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