灘中２０１９年（整数問題ー★★★★☆☆）
【灘中学 ２０１９年度 ２日目】
～概要～
２０１９年の灘中の算数は史上最高レベルの難しさでした。
ただ、１日目のひどさに比べると、２日目は例年より少し難しい程度です。
合格に必要な５０点（１００点満点中）を取るためには、本問は合わせておきたいところです。完答できないにしても、しっかりと式や考え方を書いて部分点は稼いでおかないといけませんね。
～解説～
Ａ＝［☆０▢△］ （千の位が☆・百の位が０・・・）とすると、
Ｂ＝［☆０△▢］ となり、このときＡもＢも７の倍数であるということですね。
ポイントは、「ＡとＢが両方とも７の倍数であるなら、ＡとＢの差も７の倍数になる」ということです。
つまり、ＡがＢより大きい数だとすると、
Ａ－Ｂ＝［☆０▢△］ー［☆０△▢］＝［▢△］ー［△▢］が７の倍数になります。
ここで、〔▢△］は十の位が▢で一の位が△の２桁の数字なので、
［▢△］＝１０×▢＋１×△ と表すことができます。同様に、
［△▢］＝１０×△＋１×▢ と表せます。
よって、
［▢△］ー［△▢］＝（１０×▢＋１×△）－（１０×△＋１×▢）
＝１０×▢ー１×▢＋１×△ー１０×△
＝９×▢ー９×△
＝９×（▢ー△）
となります。（※本問ではヒントとして提示されていますが、灘中志望生なら知識として知っておかないといけない内容です。）
それでは実際に見つけていきましょう。
・ＡがＢより大きいとき
Ａ－Ｂ＝［▢△］ー［△▢］＝９×（▢ー△） が７の倍数になるのは、
▢ー△＝７
のときだけですね。具体的には、
（▢、△）＝（７、０）（８、１）（９、２）
の３通りです。よって、Ａとして考えられるのは、
［☆０７０］［☆０８１］［☆０９２］
の３通りです。
ここまでくれば、灘中を目指す子の計算力をもってすれば、気合いで調べても数分で全て見つけられるはずです。
［７０７０］［４０８１］［１０９２］［８０９２］
の４個ですね。
参考までに、３つ目のヒントをどう使うのかも解説しておきましょう。
１０００＝７×１４３－１
が意味するのは、１０００は７の倍数に１足りない、ということです。
例えば３５は７の倍数ですが、３５に１０００を加えた１０３５は７の倍数に１足りない（７で割ると余りが６）ことになります。
［☆０８１］ならば、
８１÷７＝１１・・・４
となり、７の倍数に４余っているので、７の倍数に１足りない１０００を４回足せば７の倍数になるはずですね。
同様に、［☆０９２］ならば、
９２÷７＝１３・・・１
となり、１０００を１回足した１０９２と１０９２にさらに１０００を７回足した８０９２が７の倍数ということです。
本問に戻りましょう。
・ＢがＡより大きいとき
ＡとＢが入れ替わるだけなので、
［７００７］［４０１８］［１０２９］［８０２９］
の４個ですね。
ここで終わってはいけないことに注意しましょう。問題文でも最後に指摘してくれていますが、
・ＡとＢが同じ大きさのとき
というパターンもあります。具体的には、
（▢、△）＝（０、０）（１、１）（２、２）（３、３）（４、４）（５、５）（６、６）（７、７）（８、８）（９、９）
の１０通りで、Ａとして考えられるのは、
［☆０００］［☆０１１］［☆０２２］［☆０３３］［☆０４４］［☆０５５］［☆０６６］［☆０７７］［☆０８８］［☆０９９］
の１０通りです。
それぞれの☆を求めていくと、
［７０００］［４０１１］［１０２２］［８０２２］［５０３３］［２０４４］［９０４４］［６０５５］［３０６６］［７０７７］［４０８８］［１０９９］［８０９９］
の１３個です。
以上から、
４＋４＋１３＝２１個
重要度【★★☆☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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