東大寺中２０１７年（平面図形ー★★★★☆☆）
【東大寺学園中学 ２０１７年度】
～解説～
このままの形で２か所の面積をそれぞれ求めて足す、という作戦が無理なことはすぐに分りますね。
となれば次に考えるのは、全体から余分な部分の面積を引く、という作戦です。しかしこれも、白い部分の面積を求められそうにないことは明らかです。
そこで、『等積変形』をして求められそうな形に作り替える、という作戦で攻めることになります。
具体的には、㋐と㋒をなんとかする、ということです。
㋑㋓の様な弧の絡む形の面積は、おうぎ形から三角形を引いて求める以外の方法はあり得ませんからね。
まずは、等積変形の基本を確認しておきましょう。
上図の様に、直線ℓと直線ｍが平行であるとき、△ＡＢＣと△ＡＢＤは面積が等しくなります。
底辺ＡＢの長さが同じなのはもちろんのこと、ℓとｍが平行なら高さも同じになるからですね。
このことから、「△ＡＢＣは、頂点Ｃを、底辺に平行な線上で左右に動かしても面積は変わらない」ということが言えます。これが等積変形の基本です。
（また、△ＡＣＥと△ＢＤＥの面積も等しくなり、これを使う難問も在ります。）
それでは本問に戻りましょう。
円や弧の絡む図形の問題では、円やおうぎ形の中心を通る線を引くのが鉄則です。
「半径はどこでも長さが等しい」という性質がポイントになる問題がほとんどだからですね。
さて、等積変形をするためには『平行線』の発見がポイントになります。
そのために、まずは角度について考えていきましょう。
点Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆは半円を５等分しているので、
∠ＡＯＣ＝∠ＣＯＤ＝・・・＝１８０°÷５＝３６°
さらに、点Ｃと点Ｄ、点Ｄと点Ｅなども結びましょう。
こうして出来た△ＯＡＣや△ＯＥＦなどは全て２辺が半径で出来ているので二等辺三角形になりますね。
よって、
∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝∠ＯＣＤ＝・・・＝（１８０°ー３６°）÷２＝７２°
また、△ＯＡＥもＯＡ＝ＯＥ（＝半径）なので二等辺三角形です。
よって、
∠ＯＥＡ＝（１８０°ー３６°×３）÷２＝３６°
以上から、∠ＯＥＡ＝∠ＥＯＥとなり錯角が等しくなっているので、ＡＥとＯＦが平行であることが分かりました。
△ＡＥＦと△ＡＥＯは面積が同じになるので、㋐（△ＡＥＦ）の面積を求める代わりに△ＡＥＯの面積を求めてもよい、ということです。
１つ前の図に戻って、
∠ＯＥＤ＝７２°
∠ＥＯＢ＝７２°
なので、ＤＥとＡＢも錯角が等しく、平行であることが分かります。
よって、△ＡＯＥと△ＡＯＤも面積が同じです。
以上から、
㋐（△ＡＥＦ）の面積＝△ＡＯＤの面積
となるので、
㋐＋㋒の面積＝四角形ＡＯＤＣの面積
となります。
㋑の面積は、弧ＡＣと弦ＡＣに囲まれる場所の面積と同じなので、求める面積㋐＋㋑＋㋒＋㋓は、おうぎ形ＯＡＤの面積と等しいことになります。
５×５×３．１４×（７２/３６０）＝１５．７㎠
重要度【★★★☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
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