海陽中２０１２年（論理問題ー★★★☆☆☆）
【海陽中等教育学校 ２０１２年度 特別給費生入試】
～解説～
(1)
規則をきちんと読み取ることさえ出来れば解けますね。
大きな数を作るには、足し算ばかりで全ての数字を使えばよいので、
１＋２＋４＋１５＝２２
(2)
７は色々と試してみて見つけ出しましょう。
足し算だけで作れるので、すぐに見つかるでしょう。
７＝１＋２＋４
８も同様に、気合いで探してもＯＫです。
パターン数は知れているので、そう苦労はしないでしょう。
ただし、使える数字の中の「１５」と、先ほど作った「７」に着目すると、論理的に導き出すことが可能です。
つまり、７＋８＝１５であるので、
８＝１５－７
＝１５－（１＋２＋４）
＝１５－１－２－４
(3)
とりあえずは、１から順番にいくつか作っていきましょう。
１＝１
＝２－１
＝４－１－２
２＝２
＝４－２
３＝１＋２
＝４－１
＝４＋１－２
４＝４
５＝１＋４
＝２＋４－１
６＝２＋４
７＝１＋２＋４
「１」，「２」，「４」の３つの数字を使って作れるのはここまでです。
１～７で、２通りの作り方がある数は、２と５だけです。
この後、２２（(1)で求めた最大数）まで気合いで求めるのは、試験の制限時間を考慮すると少し不安（数分で求められるぐらいの計算力が備わっていることが望ましいですが）ですね。
ここで、(2)と同様に「１５」に着目してみましょう。
８以降の数字は、「１」「２」「４」の３つの数字からは作れません。
よって、「１５」を必ず使うことになります。
つまり、８～１４は、１５から何らかの数字を引いて作るということです。
８＝１５－７＝１５－（１＋２＋４）＝１５－１－２－４
９＝１５－６＝１５－（２＋４）＝１５－２－４
１０＝１５－５＝１５－（１＋４）＝１５－１－４
＝１５－５＝１５－（２＋４－１）＝１５＋１－２－４
１１＝１５－４
１２＝１５－３＝１５－（１＋２）＝１５－１－２
＝１５－３＝１５－（４－１）＝１５＋１－４
＝１５－３＝１５－（４＋１－２）＝ １５－１＋２－４
１３＝１５－２
＝１５－２＝１５－（４－２）＝１５＋２－４
１４＝１５－１
＝１５－１＝１５－（２－１）＝１５＋１－２
＝１５－１＝１５－（４－１－２）＝１５＋１＋２－４
確認のため全パターンを書き並べましたが、８～１４ で２通りの作り方があるのは１０と１３だけですね。
これは、１～７では２と５しか無かったので、８～１４では１５から２を引いて作る１３と、１５から５を引いて作る１０だけだということです。
この後、
１５＝１５
と、１５は１通りしか作れません。
１６～２２は、１５に１～７を足して作ることになります。
よって、１５に、２通りの作り方がある２と５を足した１７と２０だけが２通りの作り方があることになります。
以上から、２，５，１０，１３，１７，２０
(4)
最大数は４つの数の和なので、できるだけ大きな数まで作るには、材料の４つの数をできるだけ大きくすればよいですね。
１を作るために「１」は必要です。
２を作るためには「２」があれば手っ取り早いですが、できるだけ大きな数を使いたいので、２＝「３」－「１」で作る方がよいですね。
「１」と「３」があれば、
１＝「１」
２＝「３」－「１」
３＝「３」
４＝「１」＋「３」
と、１～４の全ての数を作ることが出来ます。
５を作るためには「５」があれば手っ取り早いですが、できるだけ大きな数を使いたいので、５＝９－４で作る方がよいですね。
同様に、６，７，８は９から３，２，１を引くと作ることが出来ます。
また、当然９は「９」で作れますし、１０，１１，１２，１３は９に１，２，３，４を足すと作ることが出来ます。
ここで、１～４は全て「１」と「３」で作れることはすでに確認済みであることがポイントです。
よって、
５＝９－４＝「９」－（「１」＋「３」）＝「９」－「１」－「３」
６＝９－３＝「９」－「３」
７＝９－２＝「９」－（「３」－「１」）＝「９」－「３」＋「１」
８＝９－１＝「９」－「１」
９＝「９」
１０＝９＋１＝「９」＋「１」
１１＝９＋２＝「９」＋（「３」－「１」）＝「９」＋「３」－「１」
１２＝９＋３＝「９」＋「３」
１３＝９＋４＝「９」＋（「１」＋「３」）＝「９」＋「１」＋「３」
つまり、「１」と「３」と「９」があれば、１～１３の全ての数を作ることが出来るということです。
１４を作るためには、２７から１３を引いて作るのがベストですね。
同様に、今までに作った１～１３を利用して、２７から１～１３を引いて１４～２６を作ります。
当然、２７は「２７」で作れますし、２８～４０は２７に１～１３を足すと作ることができます。
よって、「１」「３」「９」「２７」があれば、１～４０の全ての数を作ることができるということです。
(1)
重要度【★★★★★★】
難易度【★☆☆☆☆☆】
(2)
重要度【★★★★★★】
難易度【★★☆☆☆☆】
(3)
重要度【★★★★☆☆】
難易度【★★★☆☆☆】
(4)
重要度【★★☆☆☆☆】
難易度【★★★★☆☆】
※
ちなみにこれ以降は、「８１」があれば４１～８０は８１から１～４０を引いて、８２～１２１は８１に１～４０を足して作ることができ、「２４３」があれば１２２～２４２は２４３から１～１２１を引いて・・・となります。
よって、
「１」「３」「９」「２７」「８１」「２４３」・・・
という、１から始まる[×３]の等比数列の数があれば、全ての整数を作れるというわけですね。
※
本問の基本バージョンである、「＋」だけを使って数字を作る問題は、
「１」「２」「４」「８」「１６」・・・
という、１から始まる[×２]の等比数列の数があれば、全ての数を作ることができます。
１＝「１」
２＝「２」
３＝「１」＋「２」
４＝「４」
５＝「１」＋「４」
６＝「２」＋「４」
７＝「１」＋「２」＋「４」
と、「１」「２」「４」があれば１～７は全て作ることができ、９～１５は８に１～７を足すことで作れ、１７～３１は１６に１～１５を足し・・・となるからです。
※
この問題は、算数パズルでは有名な問題です。
基本バージョンである、「＋」だけを使って数字を作る問題は、
『てんびんで重さを量ることを考えます。全ての整数ｇの重さを量れる様にしておくとき、用意する分銅を出来るだけ少なくするにはどのような分銅を用意すればよいでしょう』
という問題と本質的には同じことです。
答えは上で示した通り、『１ｇ、２ｇ、４ｇ、８ｇ、１６ｇ・・・』となります。
上図の様に、
１＋４＝５
というのは、１ｇの分銅と４ｇの分銅を使えば、５ｇの物体を量ることができるということです。
それでは本問の、「＋」と「－」の両方を使えるバージョンは一体何を意味しているのでしょうか。
実は本問も同じ様に、てんびんの分銅問題を意味しています。
てんびんの分銅問題において、引き算で数字を作るというのはどういうことでしょうか。
上図の様に、
６＝９－３
というのは、９ｇの分銅をてんびんの左の皿に、３ｇの分銅と量りたい物体を右の皿に置いた状態を意味しています。
答えは、本問の(4)で示した通り、『１ｇ、３ｇ、９ｇ、２７ｇ・・・』となります。
まとめると、
・「＋」だけで数字を作る問題は、てんびんの分銅問題の、左の皿にしか分銅を置いてはいけないバージョン
・「＋」と「－」を使って数字を作る問題は、てんびんの分銅問題の、両方の皿に分銅を置けるバージョン
ということです。
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